接上篇：树套树之线段树套线段树
树套树都应该是做一道题就会了的。。
Dynamic Rankings(ZOJ 2112)
题目描述：
某公司开发了一种新型的计算机，它不再仅能找到给定N个数中第k小的数。它变成了一个更强大的系统。对于N个数a[1],a[2],…,a[N]，你可以询问a[i],a[i+1],…,a[j-1],a[j]中第k小的数($i\le j,0\lt k\le j+i-1$)。更强大的是，你可以改变一些a[i]的值，然后继续询问，所有的都和之前一样。
你的任务是给计算机写一个程序，使它能够：
1.从输入中读取N个数(1<=N<=50,000)
2.处理M个操作(1<=M<=10,000)，这些操作包括询问a[i],…,a[j]中第k小的数，和将一些a[i]改成t。
分析：
对区间进行操作，我们可以用线段树解决，查找数列中的第k小值，我们可以用平衡树来解决。此题既要对区间进行操作，又要查找该区间中第k小的数，我们可以对线段树的每个节点再建一棵平衡树，维护线段树所记录的这个区间的元素，从而快速地查找该区间的第k 小数。
这里平衡树用Treap实现，也可以使用其它平衡树。
程序如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;
const int MAXN = 50010, MAXP = 1000001;

struct point {
    int s, ls, rs, v, w, rnd;
}p[MAXP];
int T, n, m, tmp;
int a[50001], root[3 * MAXN];
int size;

void update(int k) {
    p[k].s = p[p[k].ls].s + p[p[k].rs].s + p[k].w;
}
void right_rotate(int &k) {
    int t = p[k].ls;
    p[k].ls = p[t].rs;
    p[t].rs = k;
    p[t].s = p[k].s;
    update(k);
    k = t;
}
void left_rotate(int &k) {
    int t = p[k].rs;
    p[k].rs = p[t].ls;
    p[t].ls = k;
    p[t].s = p[k].s;
    update(k);
    k = t;
}
void insert(int &k, int num) {
    if(!k) {
        k = ++size;
        p[k].s = p[k].w = 1;
        p[k].ls = p[k].rs = 0;
        p[k].rnd = rand();
        p[k].v = num;
        return;
    }
    p[k].s++;
    if(p[k].v == num) p[k].w++;
    else if(num < p[k].v) {
        insert(p[k].ls, num);
        if(p[p[k].ls].rnd < p[k].rnd)
            right_rotate(k);
    }
    else {
        insert(p[k].rs, num);
        if(p[p[k].rs].rnd < p[k].rnd)
            left_rotate(k);
    }
}
void del(int &k, int num) {
    if(p[k].v == num) {
        if(p[k].w > 1) {
            p[k].w--;
            p[k].s--;
            return;
        }
        if(p[k].ls * p[k].rs == 0) k = p[k].ls + p[k].rs;
        else if(p[p[k].ls].rnd < p[p[k].rs].rnd) {
            right_rotate(k);
            del(k, num);
        }
        else {
            left_rotate(k);
            del(k, num);
        }
    }
    else if(num < p[k].v) {
        del(p[k].ls, num);
        p[k].s--;
    }
    else {
        del(p[k].rs, num);
        p[k].s--;
    }
}
void change(int k, int l, int r, int x, int num, int y) {
    del(root[k], y);
    insert(root[k], num);
    if(l == r) return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(x <= mid) change(k << 1, l, mid, x, num, y);
    else change(k << 1 | 1, mid + 1, r, x, num, y);
}
void build(int k, int l, int r, int x, int num) {
    insert(root[k], num);
    if(l == r) return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(x <= mid) build(k << 1, l, mid, x, num);
    else build(k << 1 | 1, mid + 1, r, x, num);
}
void find(int k, int num) {
    if(!k) return;
    if(p[k].v <= num) {
        tmp += p[p[k].ls].s + p[k].w;
        find(p[k].rs, num);
    }
    else find(p[k].ls, num);
}
void query(int k, int l, int r, int x, int y, int num) {
    if(l == x && r == y) { 
        find(root[k], num);
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(mid >= y) query(k << 1, l, mid, x, y, num);
    else if(mid < x) query(k << 1 | 1, mid + 1, r, x, y, num);
    else {
       query(k << 1, l, mid, x, mid, num);
       query(k << 1 | 1, mid + 1, r, mid + 1, y, num);
    }
}
int main() {
    srand(53425);
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        memset(root, 0, sizeof(root));
        size = 0;
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
        for(int i = 1; i <= n; i++) build(1, 1, n, i, a[i]);
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            char s[3];
            int x, y, z;
            scanf("%s", s);
            if(s[0] == 'C') {
                scanf("%d%d", &x, &y);
                change(1, 1, n, x, y, a[x]);
                a[x] = y;
            }
            else {
                scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
                int l = 0, r = 1000000000;
                while(l <= r) {
                    int mid = (l + r) >> 1;
                    tmp = 0;
                query(1, 1, n, x, y, mid);
                    if(tmp >= z) r = mid - 1;
                    else l = mid + 1;
                }
                printf("%d\n", l);
            }
        }
    }
    return 0;
}

由于在线段树会将单个的区间分为多个，不方便查找第k小的数，我们可以对答案进行二分查找。那么只需要编写一个函数判断数字mid在区间[i, j]中是第几小的数, 若大于k则第k小数在[l, num)中, 若小于k则在(num,r]中。
因为使用了二分，所以该程序进行一次查询的时间复杂度为Θ(log1000000000*logN*logN)，进行一次修改的复杂度为Θ(logN*logN)。可以很快的实现查询和修改。
注：事实上，此题还可以用其他数据结构（如主席树）求解，请感兴趣的同学自行查阅资料。

树套树并不是一种孤立的数据结构，它是建立于各种树形结构之上的，线段树套线段树和线段树套平衡树是其中较为容易的两种，一些复杂的问题会有更多的组合，熟练地掌握树套树首先要熟悉各种树形结构，然后再多加练习，对各种类型的题能够很快思考出应该运用的数据结构。