对于一个给定的数列d1,d2,d3......dn,求相邻两个数的差,即d2-d1,d3-d2...得出一个新数列c1,c2,c3...cn,
c(i)=d(i)-d(i-1).这个新的数列c就是一个差分数组。
差分数组也有这么两个 性质:
(1)通过计算可以得出,d1=c1,d2=f1+f2=d1+(d2-d1),d3=f1+f2+f3=d1+(d2-d1)+(d3-d2)
即原数列di的值即为差分数组前i项前缀和。
(2)同样数列的前n项和sum(n)=sigma(n)(n-i-1)*fi.
那么差分数组有什么用途?
1、可以进行区间的修改,当有q次询问,每次对一个区间进行修改,当然不能每次进行一次循环进行修改,
如果不想用线段树的话,差分数组也是一个不错的选择(树状数组也可以,但它的区间修改用到的也是差分的思想)。
下面举个栗子:
一个数列 1,4,6,7,9
它的差分数组 1,3,2,1,2
对原数列的第2-4项+2,
就变成了 1,6,8,9,9
差分数组为 1,5,2,1,0
不难发现差分数组只有第2项和第五项发生了变化,所以进行区间修改(l,r),我们只需要修改差分数组的第l项和第r+1项。(可以参考上面的性质1,前i项差分数组求和)
2、区间的求和
参考上面的性质2,ans=sum[r]-sum[l-1]。
下面给几个题目
hdu 1556 color the ball
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1556
Problem Description
N个气球排成一排,从左到右依次编号为1,2,3....N.每次给定2个整数a b(a <= b),lele便为骑上他的“小飞鸽"牌电动车从气球a开始到气球b依次给每个气球涂一次颜色。但是N次以后lele已经忘记了第I个气球已经涂过几次颜色了,你能帮他算出每个气球被涂过几次颜色吗?
Input
每个测试实例第一行为一个整数N,(N <= 100000).接下来的N行,每行包括2个整数a b(1 <= a <= b <= N)。
当N = 0,输入结束。
Output
每个测试实例输出一行,包括N个整数,第I个数代表第I个气球总共被涂色的次数。
Sample Input
3
1 1
2 2
3
3 3
1 1
1 2
1 3
0
Sample Output
1 1 1
3 2 1
#include<bits/stdc++.h>
#define exp 1e-8
#define mian main
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<ll,ll>
#define ll long long
#define pb push_back
#define PI acos(-1.0)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define w(x) while(x--)
#define int_max 2147483647
#define lowbit(x) (x)&(-x)
#define gcd(a,b) __gcd(a,b)
#define pq(x) priority_queue<x>
#define ull unsigned long long
#define sc(x) scanf("%d",&x)
#define scl(x) scanf("%lld",&x)
#define pl(a,n) next_permutation(a,a+n)
#define ios ios::sync_with_stdio(false)
#define met(a,x) memset((a),(x),sizeof((a)))
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n;
int c[N],d[N];
int main()
{
while(~sc(n)&&n){
met(c,0);
met(d,0);
int l,r;
for(int i=1;i<=n;i++){
sc(l);
sc(r);
c[l]++;
c[r+1]--;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
d[i]=d[i-1]+c[i];
printf("%d",d[i]);
if(i!=n)
printf(" ");
}
printf("\n");
}
}
洛谷,借教室
https://www.luogu.org/problemnew/show/P1083
在大学期间,经常需要租借教室。大到院系举办活动,小到学习小组自习讨论,都需要向学校申请借教室。教室的大小功能不同,借教室人的身份不同,借教室的手续也不一样。
面对海量租借教室的信息,我们自然希望编程解决这个问题。
我们需要处理接下来nnn天的借教室信息,其中第iii天学校有rir_iri个教室可供租借。共有mmm份订单,每份订单用三个正整数描述,分别为dj,sj,tjd_j,s_j,t_jdj,sj,tj,表示某租借者需要从第sjs_jsj天到第tjt_jtj天租借教室(包括第sjs_jsj天和第tjt_jtj天),每天需要租借djd_jdj个教室。
我们假定,租借者对教室的大小、地点没有要求。即对于每份订单,我们只需要每天提供djd_jdj个教室,而它们具体是哪些教室,每天是否是相同的教室则不用考虑。
借教室的原则是先到先得,也就是说我们要按照订单的先后顺序依次为每份订单分配教室。如果在分配的过程中遇到一份订单无法完全满足,则需要停止教室的分配,通知当前申请人修改订单。这里的无法满足指从第sjs_jsj天到第tjt_jtj天中有至少一天剩余的教室数量不足djd_jdj个。
现在我们需要知道,是否会有订单无法完全满足。如果有,需要通知哪一个申请人修改订单。
输入输出格式
输入格式:
第一行包含两个正整数n,mn,mn,m,表示天数和订单的数量。
第二行包含nnn个正整数,其中第iii个数为rir_iri,表示第iii天可用于租借的教室数量。
接下来有mmm行,每行包含三个正整数dj,sj,tjd_j,s_j,t_jdj,sj,tj,表示租借的数量,租借开始、结束分别在第几天。
每行相邻的两个数之间均用一个空格隔开。天数与订单均用从111开始的整数编号。
输出格式:
如果所有订单均可满足,则输出只有一行,包含一个整数0。否则(订单无法完全满足)
输出两行,第一行输出一个负整数−1-1−1,第二行输出需要修改订单的申请人编号。
输入输出样例
输入样例#1: 复制
4 3 2 5 4 3 2 1 3 3 2 4 4 2 4
输出样例#1: 复制
-1 2
说明
【输入输出样例说明】
第 11份订单满足后 ,4天剩余的教室数分别为 0,3,2,30,3,2,30,3,2,3。第 222 份订单要求第 2天到第 4 天每天提供3个教室,而第 3 天剩余的教室数为2 22,因此无法满足。分配停止,通知第2 个申请人修改订单。
【数据范围】
对于10%的数据,有1≤n,m≤101≤ n,m≤ 101≤n,m≤10;
对于30%的数据,有1≤n,m≤10001≤ n,m≤10001≤n,m≤1000;
对于 70%的数据,有1≤n,m≤1051 ≤ n,m ≤ 10^51≤n,m≤105;
对于 100%的数据,有1≤n,m≤106,0≤ri,dj≤109,1≤sj≤tj≤n1 ≤ n,m ≤ 10^6,0 ≤ r_i,d_j≤ 10^9,1 ≤ s_j≤ t_j≤ n1≤n,m≤106,0≤ri,dj≤109,1≤sj≤tj≤n。
NOIP 2012 提高组 第二天 第二题
这个题可以用线段树,这里说说差分数组的做法。
我们用树状数组维护在每个申请人申请完后,相邻的天数占用的教室数量的差,
首先查询全部的申请人申请后需要的教室的数量,如果没有超过每一天的每一个教室的数量,就输出0,如果不行,
就二分查找即可
#include<bits/stdc++.h>
#define exp 1e-8
#define mian main
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<ll,ll>
#define ll long long
#define pb push_back
#define PI acos(-1.0)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define w(x) while(x--)
#define int_max 2147483647
#define lowbit(x) (x)&(-x)
#define gcd(a,b) __gcd(a,b)
#define pq(x) priority_queue<x>
#define ull unsigned long long
#define sc(x) scanf("%d",&x)
#define scl(x) scanf("%lld",&x)
#define pl(a,n) next_permutation(a,a+n)
#define ios ios::sync_with_stdio(false)
#define met(a,x) memset((a),(x),sizeof((a)))
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int n,q;
int js[N],c[N];
struct node
{
int s,e,w;
}a[N];
bool query(int x)
{
met(c,0);
for(int i=1;i<=x;i++){
c[a[i].s]+=a[i].w;
c[a[i].e+1]-=a[i].w;
}
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
sum+=c[i];
if(sum>js[i])
return false;
}
return true;
}
int main()
{
while(~sc(n)){
sc(q);
for(int i=1;i<=n;i++)
sc(js[i]);
for(int i=1;i<=q;i++)
sc(a[i].w),sc(a[i].s),sc(a[i].e);
if(query(q))
printf("0\n");
else {
int l=1;
int r=q;
while(l<r){
int mid=(l+r)>>1;
if(query(mid))
l=mid+1;
else r=mid;
}
printf("-1\n");
printf("%d\n",l);
}
}
}