问题
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给你 个数字,每个数字 ,问你有多少对数字异或起来的值在二进制下的 的个数为奇数个。
- 暴力
这个直接 枚举计算就可以了,但是是肯定不行的,所以我们要考虑其他方法。
- 观察
对于两个数字,某一位异或为 的话那么原来的两个数字的那一位必须不一样,如果异或为 的话,原来的两个数字的两位肯定一样。
所以我们发现,它某一位从原来的 变成 的话,必须是同时都为 ,那么最后两个数字的 减少的个数和肯定为偶数,所以我们只需要原来的 的个数和为奇数,那么最后消除后剩下的 的个数肯定还是奇数,而只有两个数的 的个数分别为一奇一偶,加起来才为奇数个。
- 栗子如下:
原来有 个 ,而其中的顺数第二位,两个数字都为 ,所以消去了,剩下 个 ,那么就为奇数。
原来有 个 ,而顺数最后一位都为 ,消去,剩下 个 ,所以不为奇数。
所以只有原来的 的个数为奇数的,最后才能成为答案。
所以最后统计一下奇数个 的个数,那么答案就是奇数的和偶数的组合,令奇数个 的个数为 个,那么答案就为 。
- 分析
如果直接统计的话,复杂度为 的,而 可以达到 ,那么复杂度最大为三亿,显然 是跑不过的,所以考虑优化:
- 我们按照位进行分治统计,复杂度降为 .
- 我们预处理 位的所有数的二进制位的 的个数,那么一个数字可以看做两个 位的数字拼接而成,所以拆开计算和即可,复杂度降为
- 小技巧
对于统计
内的数的二进制位的个数,我们不用
枚举统计,我们可以用类似
的方式统计(
为找到二进制最低位的
),转移如下:
我们发现它的实质是每次消除最低位的
,所以贡献
即可。
那么复杂度即为
。
原题题目地址【IN-LuoGu】
代码如下:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define RG register
#define ll long long
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
using namespace std;
const int S=1<<15|1,s=(1<<15)-1;
ll n,a,b,c,d,x;
ll t1,bit[S];
void init(){
for(RG int i=1;i<S;i++){bit[i]=bit[i^lowbit(i)]+1;}
}
void calc(int a){
int a1=a&s,a2=a>>15;
int cnt1=bit[a1]+bit[a2];
if(cnt1&1)++t1;
}
int main(){
init();
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c,&d,&x);
for(RG int i=1;i<=n;i++){x=(a*x%d*x%d+b*x%d+c)%d;calc(x);}
printf("%lld\n",1ll*(n-t1)*t1);
return 0;
}