最近，经常接触到 Compact set 这个名词。例如，这几天闹的沸沸扬扬的黎曼猜想，那位老教授放在网上的证明有一行说 compact convex set。我觉得似乎很有必要弄明白这个名词到底什么含义。

1. 紧集的定义

若一个集合它不仅是闭集还是有界的，则该集合被称作紧集（compact set）¹。

例如：
区间 $(-\infty, 2]$ 不是紧集，因为它下无界。
区间 $(-2, 4)$ 不是紧集，因为它不是闭集。
区间 $[-2, 4]$ 是紧集，因为它既是闭集又有界。

2. 闭集的定义

在拓扑空间中，闭集（closed set）是指其补集为开集的集合²。
另一个比较好的理解是：若一个集合包含其所有的界限点，则该集合为闭集。
例如：
区间 $(-\infty, 2]$ 是闭集（这是一个半区间）。
区间 $(-1, 2]$ 既不是开集，也不是闭集。