保留凸性的方式：一个凸函数在一个随机变量上的期望仍然是凸函数 - 代码天地

保留凸性的方式：一个凸函数在一个随机变量上的期望仍然是凸函数

其他 2018-10-31 20:43:19 阅读次数: 0

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设函数 $g$ 是实数范围内的一个凸函数， $D$ 是一个随机变量，那么函数 $G=E_D g(y-D)$ 仍然是一个凸函数。

证明：记 $\theta=\overline{\theta}$ , $y$ 与 $\overline{y}$ 是任意两个数

\begin{aligned} θ G (y) + \bar{θ} G (\bar{y}) \\ = & θ E_{D} g (y - D) + \bar{θ} E_{D} g (\bar{y} - D) \\ = & E_{D} [θ g (y - D) + \bar{θ} (g \bar{y} - D)] \\ \geq & E_{D} [g (θ y + \bar{θ} \bar{y} - D)] = G (θ y + \bar{θ} \bar{y} - D) ◻ \end{aligned}

$\begin{align} &\theta G(y)+\overline{\theta}G(\overline{y})\nonumber\\ =&\theta E_Dg(y-D)+\overline{\theta}E_Dg(\overline{y}-D)\nonumber\\ =&E_D\left[\theta g(y-D)+\overline{\theta}(g\overline{y}-D)\right]\nonumber\\ \geq &E_D\left[g(\theta y+\overline{\theta}\overline{y}-D)\right]=G(\theta y+\overline{\theta}\overline{y}-D)\nonumber\qquad\Box \end{align}$

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