由生日悖论想到的....<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />
---第五章主要讲概率论的一些内容,概率论我一直学得懵懵懂懂,于是梳理了一下,贴出来与大家分享。
说起概率论,我们往往最先想到的就是两个概率相乘或两个概率相加,“且关系”就相乘,“或关系”就相加,它们好像能解决所有问题。
让我们举个例子具体来说:
假设有两个并排放的灯泡A,B,它们的质量比较差:
使用一天后,还能正常工作的概率P{Good}为: 1/3
烧毁的概率P {Bad} 为: 2/3
(这里假设它们的线路是完全独立的,也就是说一个烧坏的话不会影响另一个)
那么一天之后,A正常且B也正常的概率就是两者概率的乘法:
P{A=Good 且 B=Good} = P{A=Good} * P {B=Good} = 1/3 * 1/3 = 1/9
继续使用乘法,我们能得出一天后能出现的所有情况,及它们各自的发生概率(这里用“亮”表示正常,“灭”表示烧毁):
情景 A B 概率
1. 亮 亮 1/9
2. 亮 灭 2/9
3. 灭 亮 2/9
4. 灭 灭 4/9
这时,若我们要求“只有一盏灯是亮的概率”,显然它相当与求“情景2或情景3”,那么我们则用概率的加法运算:
P{2或3} = P{2}+P{3} = 2/9 + 2/9 = 4/9
同样,“至少有一盏灯是亮的”,“只有A灯是亮的”,“所有灯都是灭的”等等,都可以用同样办法归类为“且关系”和“或关系”,并付诸于概率的乘法和概率的加法。这仿佛更加印证了我们最初说的那句话。
然而,事实有那样简单吗?
答案是否定的。同样举个例子来说:
还是上面的已知,换个角度讲:A,B灭掉的概率都是2/3,请问“A灭掉或B灭掉”的概率是多少?
这时如果用我们经典的“或关系”理论应该用加法:
P{A=Bad 或 B=Bad} = P{A=Bad} + P{B=Bad} = 2/3 + 2/3 = 4/3
“啊?竟还有这种事?发生的概率竟大于100%?” 您一定会这样惊叹~ 至少我当时是这样惊叹的....
这个例子很简洁的否定了“且关系用乘法,或关系用加法”的普适性。那么,我们很快想到另一个问题....
在概率论中,到底在什么情况下使用加法,什么情况下使用乘法?
“且关系用乘法,或关系用加法”是有道理的,但还需加上更多的限定。因为有些情况,虽然是或关系,却不能用加法,如上例所示,反之亦然。那么到底少了哪些限定呢?
这一切都要归因于....“概率分母”...(“概率分母”是我自己起的名字,它指已知概率的统计对象,也就是其作为分母的实体)
改良定理:
1. 若两个事件的概率分母相同,并且两事件是互斥的,那么它们的或运算(其中任一个发生的概率),用概率的加法运算。其本质是分母相同,所以分子可以相加。
比如我们在第二个例子中提到的四个情景,它们的概率分母都是同一个----所有可能的情景。四个情景是互斥的,也就是最多只能有一个发生。这时,“情景2或情景3” 其实是同一分母的两个分子,“有一盏灯是亮的”是两者的集合,所以是可以相加的。(但注意,因为概率分母相同,这里“情景2且情景3”是不可以相乘的,它的概率是0)
2. 若两个事件的概率分母不同,则它们的且运算(同时发生的概率),用概率的乘法运算。其本质是两个概率分支的树形叠加。(为了防止出错我们可以简单的这样记:“分母不同是不能直接相加的”)
比如我们举的第一个例子,A亮的概率1/3 分母是A灯所有可能情景,而B亮的概率1/3分母是B灯所有可能情景,两者是不同的。所以两者的且运算可以直接相乘,两者都亮的概率是1/9。但就如我们第三个例子所示,两者的或运算是不能直接加的,而应该用第二个例子中的方法,用更多步运算求得。
另外,值得特别指出的就是,在定理2中,涉及到两事件“独立/不独立”的问题,而习惯上这里“不独立”就是指“依赖”。即
独立:P{A 且 B} = P{A} * P{B}
依赖:P{A 且 B} = P{A} * P{B|A}
这里,如果有依赖关系,一般从字面就能明显看出(比如,有2/3的顾客购买方便面后又购买了香肠)。否则就是独立关系。或者我们可以这样判断一下“若P{B}==P{B|A},就是说B的发生和A的发生没什么关系,就是说独立。否则就会相互依赖,就要稍微注意一下乘法运算是B的概率数值的取值了”