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1.导数的正式定义
在
t 的位置对函数
f(x) 求导:
dxdf(t)=h→0limhf(t+h)−f(t)
h 其实等价于
dx ,
dx用来表示函数
f取值的具体有限小的变化量。
讨论极限,讨论的是变量逼近于0时的影响,而不是无穷小的变化量的影响。
2.极限的
(ϵ,δ)定义
函数
f(h)=h(2+h)3−23的图像如下:
对于函数
f(h)=h(2+h)3−23,当h=0的时候,函数值变成
00,在这个点并没有明确的值,我们用一个空心圆来表示这个间断点。但当
h无限接近0的时候,函数仍然有意义,函数值逼近于12,而这个结果,和函数从哪一边逼近无关。
逼近的定义:对于x=0附近的一些取值,当取值范围在0附近不断缩小时,函数范围越来越接近12
极限存在:总能在极限点附近,离这一点距离为
δ的取值范围内,找到一系列取值点,使得这范围内的任一个取值点,其函数值都在到某个值的距离为
ϵ的范围之内。这种情况,对任意
ϵ都成立。无论
ϵ多么小,总能找到与之对应的
δ值。
下图是一个极限不存在的一个例子:找到一个足够小的
ϵ,例如0.04,无论
δ多么小,对应的函数值,都不能完全位于两个
ϵ构成的区间内,找不到任何可以逼近的极限值,所以极限不存在。
3.洛必达法则
引例:
如何求
x→1limx2−1sin(πx) ?
直接把1代入函数,分子和分母都是0,无法直接获得函数逼近
x=1的结果。
下面分别给出分子
sin(πx) 和分母
x2−1 的函数图像
当
x=1时,两个函数的值都为
0,都穿过
x轴。考虑微小变化量
dx对函数的影响。
当
x=1时,
sin(πx)函数值的变化量为
d(sin(πx))=cos(πx)πdx=−πdx
同理得
d(x2−1)=2xdx=2dx
则有
x→1limx2−1sin(πx)=2dx−πdx=2−π
所以当
x逼近于1时,这个极限的精确值为
2−π
一般地,考虑任意两个函数
f(x)和
g(x),它们在
x=a处可导,且
g(a)=f(a)=0 ,如何计算
x→alimg(x)f(x)的值?
因为
g(a)=f(a)=0 ,所以并不能直接计算
g(a)f(a)的值。因此,我们要求
x逼近于
a时的极限值。
两个函数在
x=a处都可导,意味着在无限放大之后,他们可以被看作是直线。如下图:
考虑一个到
x=a的距离为
dx的点,对函数
f(x),该点的函数值,非常接近该点的导数值和
dx的乘积,即
dxdf(a)dx.
同理,对函数
g(x),这个值大约是
dxdg(a)dx.
当
dx越小的时候,
dxdf(a)dx和
dxdg(a)dx就越接近
x=a的函数值,甚至可以等同于极限的精确值,则有
x→alimg(x)f(x)=dxdg(a)dxdxdf(a)dx=dxdg(a)dxdf(a)
当要计算
00型函数的极限的时候,可以使用这个技巧,对分子分母分别求导,并代入极限点的取值。
这一技巧就叫做洛必达法则。
回顾一开始对导数的定义:
dxdf(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)
本质上就是计算
00型函数的极限,那是不是就可以使用洛必达法则暴力求解了呢?很遗憾,如果不知道分子的导数,则无法使用洛必达法则。因此,洛必达法则的一个应用前提就是——分子分母都可导。
参考资料: 【官方双语】微积分的本质 - 07 - 极限.