转置矩阵:
将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵,转置矩阵的行列式不变。
例如,
,
。
如果 阶方阵和它的转置相等 ,即 ,则称矩阵 为对称矩阵。
如果 ,则称矩阵 为反对称矩阵。
正交矩阵:
如果:AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”。)或ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,若A为正交阵,则满足以下条件 [2] [3] :
1)AT是正交矩阵
2)(E为单位矩阵)
3)A的各行是单位向量且两两正交
4)A的各列是单位向量且两两正交
5)(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R
6)|A|=1或-1
7)
8)正交矩阵通常用字母Q表示。
阶梯形矩阵
若矩阵A满足两条件:(1)若有零行(元素全为0的行),则零行应在最下方;(2)非零首元(即非零行的第一个不为零的元素)的列标号随行标号的增加而严格递增,则称此矩阵A为阶梯形矩阵。
例子:
2 0 2 1 2
0 5 2 -2 5
0 0 3 2 3
0 0 0 0
行简化阶梯形矩阵
例子:
若矩阵A满足两条件:(1)它是阶梯形矩阵;(2)非零首元所在的列除了非零首元外,其余元素全为0,则称此矩阵A为行简化阶梯形矩阵。
2 0 00
0 5 00
0 0 30
0 0 0 0
行最简形矩阵
若矩阵满足两条件:(1)它是行简化阶梯形矩阵;(2)非零首元都为1,则称此矩阵A为
行最简形矩阵。
1 0 0 1
0 1 0 -2
0 0 1 2
0 0 0 0
逆矩阵:
设A是数域上的一个n阶矩阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=E ,则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。注:E为单位矩阵。
伴随矩阵:
在线性代数中,一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念 [1] 。如果二维矩阵可逆,那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数,对多维矩阵不存在这个规律。然而,伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义,并且不需要用到除法。
伴随矩阵A*在位置(i,j)上的元素是矩阵A在位置(j,i)上的代数余子式。
例如,
的伴随矩阵是
。