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引理
设
p,q>0,p1+q1=1.则
xp1yq1≤px+qy,∀x,y≥0,等号仅当
x=y 时成立。
证明:
考察对数函数
log(x),她显然是一个凹函数:
log(θx+(1−θ)y)≥θlog(x)+(1−θ)log(y)取
θ=p1,则
1−θ=q1,故
log(p1x+q1y)≥p1log(x)+q1log(y)两边同时去指数,得
px+qy≥xp1yq1
Hölder 不等式
对引理中的不等式,做如下替换
xi=∑j=1najpaip,yi=∑j=1nbjqbiq得到 n 个不等式:
(∑j=1najp)p1(∑j=1nbjq)q1aibi≤p1∑j=1najpaip+q1∑j=1nbjqbiq将上式两边对
i=1,2,⋅⋅⋅,n 求和,就得到
(∑j=1najp)p1(∑j=1nbjq)q1∑i=1naibi≤p1+q1=1,
⇒i=1∑naibi≤(j=1∑najp)p1(j=1∑nbjq)q1
上式要求
ai,bi≥0。否则,需要给等式右端的
ai,bi 加上绝对值,得到如下不等式:
aTb≤∣∣a∣∣p∣∣b∣∣q事实上,
∣∣⋅∣∣q正是
∣∣⋅∣∣p的对偶范数。