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矩阵
X∈Rn×3,其列向量张成了 n 维空间中的一个线性子空间
V=span{X}=span{x1,x2,x3}。那么对于任意一个满秩的 3 维矩阵
P∈R3×3:
span{X}=span{XP}
证明:
Y≜XP∈Rn×3
则有
yj=i=1∑3xiPij
所以
∀y∈span{Y},∃αi,y=i=1∑3αiyi=i=1∑3αij=1∑3xjPji=j=1∑3xji=1∑3αiPji⇒y∈span{X}⇒span{Y}⊆span{X}
另一方面
X=YP−1≜YQ⇒span{X}⊆span{Y}
综上
span{X}=span{Y}=span{XP}