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证明:
xTxxTAx≤λmax(2A+AT)
∀A∈Rn×n
原问题等价于:
∣∣x∣∣2=1supxTAx≤λmax(2A+AT)事实上取等号,即:
∣∣x∣∣=1supxTAx=∣∣x∣∣=1supxT(2A+AT)x+xT(2A−AT)x=∣∣x∣∣=1supxT(2A+AT)x=λmax(2A+AT)
证明也简单,考虑优化问题:
maximizexTSxs.t.xTx=1
其中 S 为对称阵,拘束条件表示欧式长度为1。由于 S 对称,可对角化。
S=PTΛP其中
P 为单位正交阵,
Λ=diag{λ1,λ2,...λn}。令
y=Px,则原问题等价于:
maximizeyTΛy=i=1∑nλiyi2s.t.yTy=i∑yi2=1显然,
i=1∑nλiyi2≤max{λi}i∑yi2=max{λi}当且仅当
∣yi∣ 在
λi 最大的那个分量上等于1时取等号。
由上述证明可知:
λmin(2A+AT)≤xTxxTAx≤λmax(2A+AT)
更准确地来说,
∀A∈Rn×n
x̸=0supxTxxTAx=λmax(2A+AT)x̸=0infxTxxTAx=λmin(2A+AT)
特别地,当A对称时,
x̸=0supxTxxTAx=λmax(A)x̸=0infxTxxTAx=λmin(A)