矩阵特征值
-
矩阵特征值方法
对于矩阵A，由AX=λ
0X，λ
0EX=AX，得[λ
0E-A]X=θ即齐次线性方程组
有非零解的充分必要条件是：
即说明特征根是特征多项式|λ
0E-A| =0的根，由代数基本定理
有n个复根λ
1,λ
2,…,λ
n，为A的n个特征根。当特征根λ
i(I=1,2,…,n)求出后，(λ
iE-A)X=θ是齐次方程，λ
i均会使|λ
iE-A|=0，(λ
iE-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λ
iE-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。
矩阵特征值示例
求矩阵
的特征值与特征向量。
解：由特征方程
解得A有2重特征值λ
1=λ
2=-2，有单特征值λ
3=4。
对于特征值λ
1=λ
2=-2，解方程组(-2E-A)x=θ
得同解方程组x
1-x
2+x
3=0，解为x
1=x
2-x
3(x
2,x
3为自由未知量)。分别令自由未知量
得基础解系
所以A的对应于特征值λ
1=λ
2=-2的全部特征向量为x=k
1ξ
1+k
2ξ
2(k
1,k
2不全为零)，可见，特征值λ=-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数是特征根的
重数。
对于特征值λ
3=4，方程组(4E-A)x=q
得同解方程组为
通解为
