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  矩阵特征值是矩阵的重要参数之一。从前面的讨论可以看到，把矩阵对角化或者求矩阵的约当标准形、判别矩阵的收敛，以及矩阵函数的性质都与特征值有关。当矩阵的阶数高于五次时，没有求根公式，这个时候如果能够给出特征值的位置或者给出特征值的取值范围，会对解决问题有一定的帮助。

  不具体求特征值，而是给出特征值的范围，这就是特征值估计问题。例如讨论矩阵幂级数 $\sum_{k=0}^{\infty}C_{k}A^{k}$是否收敛，只要知道矩阵 $A$的谱半径是否小于幂级数 $\sum_{k=0}^{\infty}C_{k}z^{k}$的收敛半径即可。

  在自动控制理论中，系统的稳定性与特征值的实数部分的符号有关，如果实数部分为负，则系统稳定。因此通过矩阵本身的数值来给出特征值的范围就显得很重要。

特征值界的估计

  前面讲到范数时曾经有：

$\rho(A) \leq ||A||$

  即矩阵的谱半径小于任何一个矩阵的范数，而范数可以通过矩阵本身的数值来计算，不需要解方程。

  下面给出特征值的估计。

  如果 $\lambda$是 $A$的特征值， $x$为特征向量，则 $Ax=\lambda x$，进一步假设 $x$是单位向量，则 $x^{H}x=1$，两边乘以 $x^{H}$：

$x^{H}Ax=\lambda x^{H}x =\lambda$

  即 $\lambda$可以由 $x^{H}Ax$决定，可以通过估计这个函数来估计特征值。

• 定理7.1：设 $A \in C^{n \times n}$, $x \in C^{n}$，且 $||x||_{2}=1$，则：

$|x^{H}Ax| \leq ||A||_{m_{\infty}}$

• 推论：由 $\lambda=x^{H}Ax$，得 $| \lambda | \leq ||A||_{m_{\infty}}$。

• 定理7.2 设：

$A \in C^{n \times n},$

$B= \frac{1}{2}(A+A^{H})，C= \frac{1}{2}(A-A^{H})$

  则 $A$的特征值 $\lambda$满足：

$|Re \lambda| \leq ||B||_{m_{\infty}}，|Im \lambda | \leq ||C||_{{m_{\infty}}}$

• 推论：厄米特矩阵的特征值都是实数，反厄米特矩阵的特征值为零或者纯虚数。

• 定理7.3：(舒尔定理) 设 $A \in C^{n \times n}$的特征值为 $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$, $\cdots$ $\lambda_{n}$，则：

$|\lambda_{1}|^{2}+|\lambda_{2}|^{2}+\cdots |\lambda_{n}|^{2} \leq ||A||_{F}^{2}$

  且等式成立的充要条件是 $A$为正规矩阵。

特征值的包含区域

  上一节给出了特征值大小的估计，这一节介绍一些判别矩阵特征值位置的方法。

Gerschgorin 盖尔圆定理

  与上一节类似，我们需要用矩阵元素给出特征值的估计。设 $\lambda$为 $A=(a_{ij})_{n \times n}$的特征值， $x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})^{T}$为 $A$的属于 $\lambda$的特征向量，则由 $Ax=\lambda x$得：

$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i} (i=1,2,\cdots , n)$

$x_{i}(\lambda -a_{ii}) =\sum_{j=1,j \neq i}^{n}a_{ij}x_{j}$

$|\lambda-a_{ii}|=|\sum a_{ij} \frac{x_{j}}{x_{i}}| \leq \sum|a_{ij}| |\frac{x_{j}}{x_{i}}|$

  如果 $|x_{i}| \geq |x_{j}|$，则 $|\frac{x_{j}}{x_{i}}| \leq 1$得：

$|\lambda - a_{ii}| = \sum_{j=1,j \neq i}^{n}|a_{ij}|$

  上述不等式在几何上是一个圆，即特征值落在一个圆中。

• 定义 设 $A=(a_{ij})_{n \times n}$，记：

$R_{i}=\sum_{j=1 ,j \neq i}^{n} |a_{ij}|$

  称复平面的圆域：

$G_{i} = \{z||z-a_{ii}| \leq R_{i} , z \in C\}$

  为 $A$的第 $i$个盖尔圆，称 $R_{i}$为盖尔圆的半径，由于：

$x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$

  的分量中必有一个 $x_{i}$使得 $|x_{i}| = max_{j}|x_{j}|$，所以必有一个 $i$使得：

$|\lambda - a_{ii}| \leq R_{i}$

  成立，由此得到：

• 定理7.4：矩阵 $A \in C^{n \times n}$的全体特征值都在它的 $n$个盖尔圆构成的并集之中。

  注意到 $A \in C^{n \times n}$与 $A^{T}$的特征值相同，根据定理7.4可得， $A$的特征值也在 $A^{T}$的 $n$个盖尔圆构成的并集之中。称 $A^{T}$的盖尔圆为 $A$的列盖尔圆。

  根据盖尔圆理论，对任何矩阵 $A$特征值一定满足 $|\lambda -a_{ii}| \leq R_{i}$。若 $\lambda =0$，则 $|a_{ii}| \leq R_{i}$。

  从这里可以看出，若矩阵 $A$严格对角占优，即 $|a_{ii}| > R_{i}$，则：

$\lambda \neq 0，|A| \neq 0$

• 推论：若 $A$为实矩阵 $A \in R^{n \times n}$,且 $A$的 $n$个盖尔圆是孤立的，则 $A$有 $n$个互不相同的实特征值。

   $A$为实矩阵时，特征方程 $|\lambda E -A| = 0$为实代数方程，它的复根一定成对出现，一定是共轭的，即 $a \pm ib$的形式，且 $|\lambda -a_{ii}|$的形式，且 $|\lambda -a_{ii}| \leq R_{i}$中， $a_{ii}$是实数，特征值一定是实数。

特征值的隔离

  前面讲述了用盖尔圆分析特征值的方法，当矩阵 $A$与 $B$相似，即 $B =C^{-1}AC$时， $A$与 $B$有相同的特征值。利用这一个性质，可以通过改变盖尔圆的大小，分析某个特征值的位置。在这里取比较简单的 $C$,可以取成对角矩阵，且对角线元素为正。

$C=diag(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n})$

$B=CAC^{-1} = (a_{ij} \frac{c_{i}}{c_{j}})_{n\times n}$

  则 $A$与 $B$有相同的特征值，通过适当地选取正数 $c_{1}$， $c_{2}$， $\cdots$， $c_{n}$，有可能使每一个盖尔圆包含 $A$的一个特征值。选取 $c_{1}$， $c_{2}$， $\cdots$， $c_{n}$的一般原则是，欲使 $A$的第 $i$个盖尔圆缩小，可取 $c_{i }<1$，其余取为1，此时 $B$的其他盖尔圆适量放大；反之，欲使 $A$的第 $i$个盖尔圆放大，可取 $c_{i} > 1$，其余取为1，此时 $B$的其余盖尔圆适量缩小。