第二十天学习精要

程序或算法的时间复杂度

• 一个程序或算法的时间效率，也称“时间复杂度” ，有时简称“复杂度”。

• 复杂度常用大的字母O和小写字母n来表示，比如O(n)，O(n2)等。 n代表问题的规模。

• 时间复杂度是用算法运行过程中，某种时间固定的操作需要被执行的次数和n的关系来度量的。 在无序数列中查找某个数，复杂度是O(n)。

• 计算复杂度的时候，只统计执行次数最多的(n足够大时)那种固定操作的次数。

• 如果复杂度是多个n的函数之和，则只关心随n的增长增长得最快的那个函数。

  • 常数复杂度：O(1) 时间(操作次数)和问题的规模无关。
  • 对数复杂度：O(log(n))。
  • 线性复杂度：O(n)。
  • 多项式复杂度：O( $n^k$ )。
  • 指数复杂度：O( $a^n$ )。
  • 阶乘复杂度：O(n! )。

• 典型算法的时间复杂度

  • 在无序数列中查找某个数(顺序查找)：O(n)。
  • 平面上有n个点，要求出任意两点之间的距离：O( $n^2$)。
  • 插入排序、选择排序、冒泡排序 ：O( $n^2$)。
  • 快速排序：O( n*log(n))。
  • 二分查找：O(log(n))。

二分查找的实现

二分查找函数

• 写一个函数BinarySeach，在包含size个元素的、从小到大排序的int数组a里查找元素p，如果找到，则返回元素下标，如果找不到，则返回-1，要求复杂度O(log(n))。

int BinarySearch(int a[], int size, int p)
{
	int L = 0;		// 查找区间的左端点
	int R = size - 1;	 // 查找区间的右端点
	while (L <= R)	// 如果查找区间不为空就继续查找
	{
		/* 注意：int mid = (L+R)/2;为了防止 (L+R)过大溢出改为int mid = L+(R-L)/2; */
		int mid = L + (R - L) / 2;		// 取查找区间正中元素的下标
		if (p == a[mid])
		{
			return mid;
		}
		else if (p > a[mid])
		{
			L = mid + 1;	 // 设置新的查找区间的左端点
		}
		else (p < a[mid])
		{
			R = mid - 1;	// 设置新的查找区间的右端点
		}	
	}
	return -1;
}

• 写一个函数LowerBound，在包含size个元素的、从小到大排序的int数组a里查找比给定整数p小的，下标最大的元素。找到则返回其下标，找不到则返回-1。

int LowerBound(int a[], int size, int p)	 //复杂度O(log(n))
{
	int L = 0; 	// 查找区间的左端点
	int R = size - 1; 	// 查找区间的右端点
	int lastPos = -1;	 // 到目前为止找到的最优解
	while( L <= R) 
	{ 	//如果查找区间不为空就继续查找
		int mid = L + (R - L) / 2;	 // 取查找区间正中元素的下标
		if(a[mid] >= p)
		{
			R = mid - 1;
		}
		else 
		{
			lastPos = mid;
			L = mid + 1;
		}
	}
	return lastPos;
}

二分法求方程的根

• 求下面方程的一个根：f(x) = x3-5x2+10x-80 = 0，若求出的根是a，则要求 |f(a)| <= $10^{-6}$。

• 解法：对f(x)求导，得f’(x)=3x2-10x+10。由一元二次方程求根公式知方程f’(x)= 0 无解，因此f’(x)恒大于0。 故f(x)是单调递增的。易知 f(0) < 0且f(100)>0,所以区间[0,100]内必然有且只有一个根。由于f(x)在[0,100]内是单调的，所以可以用二分的办法在区间[0,100]中寻找根。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double EPS = 1e-6;

double f(double x) 
{
	return x*x*x - 5*x*x + 10*x - 80; 
}

int main()
{
	double root, x1 = 0, x2 = 100, y;
	root = x1 - (x2 - x1) / 2;
	int triedTimes = 1;		// 记录一共尝试多少次，对求根来说不是必须的	
	y = f(root);
	while( fabs(y) > EPS)
	{
		if( y > 0 )
		{
			x2 = root;
		}
		else
		{
			x1 = root;
		} 
		root = x1 + (x2 - x1) / 2;
		y = f(root);
		triedTimes++;
	}
	printf("%.8f\n", root);
	printf("%d", triedTimes);
	return 0;
}