有向无环图上的动态规划是学习动态规划的基础。很多问题都可以转化为DAG上的最长路、最短路或路径计数问题。

嵌套矩阵问题。有n个矩形，每个矩形可以用a,b来描述，表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d（相当于旋转X90度）。例如（1,5）可以嵌套在（6,2）内，但不能嵌套在（3,4）中。你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行，使得除最后一个外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。如果有多解，矩阵编号的字典序应该尽量小。

矩阵之间的可嵌套关系是一个典型的二元关系，二元关系可以用图来建模。如果矩阵X可以嵌套在矩阵Y里，就从X到Y连一条有向边。这个有向图是无环的，因为一个矩阵无法直接或间接地嵌套在自己内。换句话说，它是一个DAG。这样，所要求的便是DAG上的最长路径。

如何求DAG中不固定起点的最长路径呢？仿照数字三角形的做法，设d(i)表示从结点i出发的最长路长度，应该如何写状态转移方程呢？第一步只能到它的相邻点。因此：

其中，E为边集。最终答案是所有d(i)中的最大值。根据前面的介绍，可以尝试按照递推或记忆化搜索的方式计算上式。不管怎样，都需要先把图建立出来，假设用邻接矩阵保存在矩阵G中（在编写主程序之前需测试和调试程序，以确保建图过程正确无误）。接下来编写记忆化搜索程序（调用前无需初始化d数组的所有值为0）：

int G[10][10],d[100],n;

int dp(int i)
{
    /*d(i) = max{d(j)+1}
    如果矩形X可以嵌套在矩形Y中 就从X到Y连一条有向边 这个有向图是无环的
    因为矩形无法间接或直接嵌套到自己内部*/
    int &ans=d[i],j; //d[i]为从节点i出发的最长路长度
    if(ans>0) //长度不可以为0 d需要初始化为0
        return ans;
    ans=1;
    for(j=1;j<=n;j++)
        if(G[i][j])
           ans=max(ans,dp(j)+1);
    return ans;
}

这里用到了一个技巧：为表项d[i]声明一个引用ans。这样，任何对ans的读写实际上都是在对d[i]进行。当d[i]换成d[i][j][k][l][m][n]这样很长的名字时，该技巧的优势就会很明显。

原题还有一个要求：如果有多个最优解，矩形编号的字典序应最小。将所有d值计算出来以后，选择最大d[i]所对应的i。如果有多个i，选择最小的i，这样才能保证字典序最小。接下来可以选择d(i)=d(j) + 1且 的任何一个j。为了让方案的字典序最小，应选择其中最小的j。

void print_ans(int i)
{
    //打印字典序最小的解
   printf("%d ",i);
   for(int j=1;j<=n;j++)
        if(G[i][j]&&d[i]==d[j]+1)
        {
            print_ans(j);//找到一个满足d[i]==d[j]+1 的节点j后就应该立刻递归
            break;       //打印从j开始的路径，在递归结束后退出循环
        }
}

注意，当找到一个满足 d[i]==d[j]+1的结点j后就应立刻递归打印从j开始的路径，并在递归返回后退出循环。如果要打印所有方案，只把break语句删除是不够的（打印完一条路径后，接着打印的是另一条路径的最后一个结点，是不正确的）。正确的方法是记录路径上的所有点，在递归结束时才一次性输出整条路径。

有趣的是，如果把状态定义成 “d(i)表示结点i为终点的最长路径长度”，也能顺利求出最优值，却难以打印出字典序最小的方案（当前结点j，选择d[j]对应的i，如果有多个i，选择最小的i。问题是此时最小不一定是全局最小。全局有却可能最大，比如第一个结点是最大的）。