前文是一些针对IRL，IL综述性的解释，后文是针对《Generative adversarial imitation learning》文章的理解及公式的推导。

1. 通过深度强化学习，我们能够让机器人针对一个任务实现从0到1的学习，但是需要我们定义出reward函数，在很多复杂任务，例如无人驾驶中，很难根据状态特征来建立一个科学合理的reward。
2. 人类学习新东西有一个重要的方法就是模仿学习，通过观察别人的动作来模仿学习，不需要知道任务的reward函数。模仿学习就是希望机器能够通过观察模仿专家的行为来进行学习。
3. OpenAI，DeepMind，Google Brain目前都在向这方面发展。

[1] Model-Free Imitation Learning with Policy Optimization, OpenAI, 2016

[2] Generative Adversarial Imitation Learning, OpenAI, 2016

[3] One-Shot Imitation Learning, OpenAI, 2017

[4] Third-Person Imitation Learning, OpenAI, 2017

[5] Learning human behaviors from motion capture by adversarial imitation, DeepMind, 2017

[6] Robust Imitation of Diverse Behaviors, DeepMind, 2017

[7] Unsupervised Perceptual Rewards for Imitation Learning, Google Brain, 2017

[8] Time-Contrastive Networks: Self-Supervised Learning from Multi-View Observation, Google Brain, 2017

[9] Imitation from Observation/ Learning to Imitate Behaviors from Raw Video via Context Translation, OpenAI, 2017

[10] One Shot Visual Imitation Learning, OpenAI, 2017

模仿学习

1. 从给定的专家轨迹中进行学习。
2. 机器在学习过程中能够跟环境交互，到那时不能直接获得reward。
3. 在任务中很难定义合理的reward（自动驾驶中撞人reward，撞车reward，红绿灯reward），人工定义的reward可能会导致失控行为（让agent考试，目标为考100分，但是reward可能通过作弊的方式）。
4. 三种方法：
   a. 行为克隆（Behavior Cloning）
   b. 逆向强化学习（Inverse Reinforcement Learning）
   c. GAN引入IL（Generative Adversarial Imitation Learning）
5. 行为克隆
   有监督的学习，通过大量数据，学习一个状态s到动作a的映射。
   
   但是专家轨迹给定的数据集是有限的，无法覆盖所有可能的情况。如果更换数据集可能效果会不好。则只能不断增加训练数据集，尽量覆盖所有可能发生的状态。但是并不实际，在很多危险状态采集数据成本非常高。
6. 逆向强化学习
   RL是通过agent不断与environment交互获取reward来进行策略的调整，最终得到一个optimal policy。但IRL计算量较大，在每一个内循环中都跑了一遍RL算法。
   
   IRL不同之处在于，无法获取真实的reward函数，但是具有根据专家策略得到的一系列轨迹。假设专家策略是真实reward函数下的最优策略，IRL学习专家轨迹，反推出reward函数。
   
   得到复原的reward函数后，再进行策略函数的估计。
   RL算法：
   
   IRL算法：
   
   在给定的专家策略后（expert policy），不断寻找reward function来使专家策略是最优的。（解释专家行为，explaining expert behaviors）。具体流程图如下：
   
7. 生成对抗模仿学习（GAN for Imitation Learning）
   我们可以假设专家轨迹是属于某一分布（distribution），我们想让我们的模型也去预测一个分布，并且使这两个分布尽可能的接近。
   
   算法流程如下：
   
   Discriminator：尽可能的区分轨迹是由expert生成还是Generator生成。
   
   Generator(Actor)：产生出一个轨迹，使其与专家轨迹尽可能相近，使Discriminator无法区分轨迹是expert生成的还是Generator生成的。
   
   其算法可以写为：
   

生成对抗模仿学习（Generative Adversarial Imitation Learning）

GAIL能够直接从专家轨迹中学得策略，绕过很多IRL的中间步骤。

逆向强化学习（IRL）

假定cost function的集合为 $\mathcal{C}$， $\pi_E$为专家策略。带有正则化项 $\psi$最大熵逆向强化学习是想找到一个cost function似的专家策略的效果优于其余所有策略（cost越小越优）:
$\rm{IRL}_{\psi}(\pi_E) = \arg max_{c\in\mathcal{C}} -\psi(c)+(\min_{\pi \in \Pi}- \it {H}(\pi) + \mathbb E_\pi[c(s,a)]) - \mathbb E_{\pi_E}[c(s,a)]$
其中 $\mathbb E_\pi[c(s,a)]=\mathbb E[\sum\limits_{t=0}^\infty \gamma^tc(s_t,a_t)]$ ， $H(\pi)=\mathbb E_\pi[-\log \pi(a|s)]$是一个 $\gamma$折扣累积熵。IRL过程中包含一个RL过程：
$\rm{RL}(c) = \arg min_{\pi \in \Pi} -\it H(\pi)+\mathbb E_\pi [c(s,a)]$

Defination 1.

对于一个策略 $\pi$，定义其占用率度量（occupancy measure） $\rho_\pi:\mathcal{S}\times\mathcal{A}\to \mathbb R$为
$\rho_\pi(s,a) = \pi(a|s)\sum\limits_{t=0}^\infty\gamma^tP(s_t=s|\pi)$
占用率度量可以近似看做是使用策略 $\pi$时，状态-动作对的分布。 $\mathcal D$是有效的占用率度量的集合。
[1] U. Syed, M. Bowling, and R. E. Schapire. Apprenticeship learning using linear programming. In
Proceedings of the 25th International Conference on Machine Learning, pages 1032–1039, 2008. 证明 $\pi \in \Pi$与 $\rho\in\mathcal D$是一一对应关系。

Lemma 3.1.

若 $\rho\in\mathcal D$，则 $\rho$是策略 $\pi_{\rho}=\rho(s,a)/\sum\limits_{a'}\rho(s,a')$的占用率度量，并且 $\pi_{\rho}$是唯一的。

根据Definition 1，可以将 $\gamma$折累计代价写为
$\mathbb E_\pi[c(s,a)]=\sum\limits_{s,a}\rho_\pi(s,a)c(s,a)$

Lemma 3.2.

若 $H(\pi)=\mathbb E_\pi[-\log\pi(a|s)]$, $\overline H(\rho)=-\sum\limits_{s,a}\rho(s,a)\log(\rho(s,a)/ \sum_{a'}\rho(s,a'))$。可知 $\overline H$是强凹的，并且对于任意 $\pi \in \Pi, \rho \in \mathcal D$，可得 $H(\pi)=\overline H(\rho_\pi)$和 $H(\pi_\rho)=\overline H(\rho_)$。

Lemma 3.3.

若 $L(\pi,c)=-H(\pi)+\mathbb E_\pi[c(s,a)]$, $\overline L(\rho,c) = -\overline H(\rho) + \sum_{s,a}\rho(s,a)c(s,a)$。对于所有的代价函数 $c$，如下成立：
1.对于任意 $\pi\in\Pi$, $L(\pi,c)=\overline L(\rho_\pi,c)$.
2.对于任意 $\rho\in\mathcal D$, $L(\pi_\rho,c)=\overline L(\rho,c)$

Definition 2

对于一个方程 $f:\mathbb R^{\mathcal R \times \mathcal A}\to \overline \mathbb R$，其凸共轭 $f^*:\mathbb R^{\mathcal R \times \mathcal A} \to \overline \mathbb R$定义为 $f^*(x) = \sup_{y\in\mathbb R^{\mathcal S \times \mathcal A}}x^Ty-f(y)$.

Proposition 1

$RL(\widetilde c) $是利用IRL恢复的cost，通过RL学得的policy。可得
$RL\circ IRL_\psi(\pi_E) = argmin_{\pi\in\Pi}-H(\pi) + \psi^*(\rho_\pi - \rho_{\pi_{E}})$
上述表明， $\psi$正则化逆向强化学习就只隐性的找到policy，该policy的占用率度量(occupancy measure)逼近专家策略的占用率度量，使用凸函数 $\psi^*$来衡量占用率度量的差异。
通过上式可得，最优代价函数（cost function）与学得的policy可以组成上式的一个鞍点，IRL寻找鞍点的一个坐标维度，RL根据IRL的结果寻找鞍点坐标的另一个维度。 $(c,\pi)$为一个鞍点。
可得，不同的正则化函数 $\psi$构成不同的模仿学习算法，可以直接求解上式得到 $(c,\pi)$。

在本文中将会主要介绍三种不同的正则化函数：恒定正则化函数，示性正则化函数，生成对抗正则化函数（GA）

Corollary 1

若 $\psi$是一个恒定值， $\widetilde c\in IRL_\psi(\pi_E)$并且 $\widetilde \pi\in RL(\widetilde c)$，则 $\rho_{\widetilde \pi} = \rho_{\pi_E}$.

• 若没有正则化项，则RL得到的policy将会精确匹配专家policy
• 但该算法无法应用于实际系统中，因为实际系统的环境非常大，计算复杂。
  若正则化项为一个恒定值，则只能学习到专家轨迹中采样到的状态动作对，但是在大规模环境中，专家轨迹有限无法探索到所有的状态动作对，因此学得的policy几乎不会涉及到未出现过的状态动作对。

示性正则化学徒学习

学徒算法是想要找到一个policy并且比专家policy效果在学得的cost function $\mathcal C$情况下更好，通过解如下方程：
$\min_\pi \max_{c\in\mathcal C} \mathbb E_\pi[c(s,a)] - \mathbb E_{\pi_E}[c(s,a)]$
$\mathcal C$是一个有约束的凸集，是由一系列基础方程 $f_1,f_2,\dots,f_d$的线性组合而成。 Abbeel 和 Ng使用 $\mathcal C_{linear} = \{ \sum_i w_if_i:\|w\|_2\le1\}$，Syde使用 $\mathcal C_{convex}=\{ \sum_i w_if_i:\sum_iw_i=1,w_i\ge 0 \forall i\}$.

对于示性函数 $\delta_c:\mathbb R^{\mathcal S \times \mathcal A}\to \overline \mathbb R$，定义如下
$\delta_{\mathcal C}(c) =\left\{ \begin{array}{lr} 0, & c\in\mathcal C \\ +\infty, & otherwise \end{array} \right.$
学徒学习的目标函数可以化为
$\begin{aligned} &\max_{c\in\mathcal C} \mathbb E_\pi[c(s,a)] - \mathbb E_{\pi_E}[c(s,a)] \\ &=\max_{c\in\mathcal C} -\delta_{\mathcal C}(c)+\sum_{s,a}(\rho_\pi(s,a)-\rho_{\pi_E}(s,a))c(s,a) \\ &=\delta_{\mathcal C}^*(\rho_\pi - \rho_{\pi_E}) \end{aligned}$
无法精确匹配专家经验的占用率度量。

熵-正则化学徒学习

$\min_\pi - H(\pi)+\max_{c\in\mathcal C}\mathbb E_\pi[c(s,a)] - \mathbb E_{\pi_E}[c(s,a)] = \min_{\pi} -H(\pi)+\delta_{\mathcal C}^*(\rho_\pi-\rho_{\pi_E})$
熵-正则化学徒学习等价于在有示性函数 $\psi=\delta_{\mathcal C}$的IRL后运行RL。

GA正则化

$\psi_{GA}(c) = \left\{ \begin{array}{lr} \mathbb E_{\pi_E}[g(c(s,a))],\qquad &c<0 \\ +\infty, & otherwise \end{array} \right. \\ g(x)=\left\{ \begin{array}{lr} -x-\log(1-e^x),\qquad &x<0 \\ 0, & otherwise \end{array} \right.$

• $\psi_{GA}$是一个针对专家数据求期望的函数，因此可以适用于任意专家数据集。
• 不像 $\delta_{\mathcal C}$将cost function约束在小的子空间中。 $\psi_{GA}$允许任意的cost function只要是负数空间中。

选择 $\psi_{GA}$的目的是因为其具有一个非常优秀的凸共轭函数，如下
$\psi_{GA}^*(\rho_\pi-\rho_{\pi_E}) = \max_{D\in(0,1)^{\mathcal S \times \mathcal A}} \mathbb E_{\pi_E}[\log(D(s,a))] + \mathbb E_\pi[\log(1-D(s,a))]$
上式等价于一个对数损失函数来区分 $\pi$与 $\pi_E$。这个最优损失等价于Jensen-Shannon散度
$D_{JS}(\rho_\pi,\rho_{\pi_E}) = D_{KL}(\rho_\pi \|(\rho_\pi - \rho_{\pi_E})/2)+D_{KL}(\rho_{\pi_E}\|(\rho_E+\rho_{\pi_E})/2)$
则有如下等价关系
$\min_{\pi}\psi_{GA}^*(\rho_\pi - \rho_{\pi_E})-\lambda H(\pi) \Longleftrightarrow \\ \min_{\pi}\max_{D}\mathbb E_{\pi_E}[\log(D(s,a))]+\mathbb E_{\pi}[\log(1-D(s,a)]-\lambda H(\pi) \Longleftrightarrow \\ \min_{\pi}D_{JS}(\rho_\pi,\rho_{\pi_E}) - \lambda H(\pi)$
找到一个policy，其占用率度量（occupancy measure）能够最小化与专家经验的Jensen-Shannon散度。

生成对抗网络

$\min_G\max_D \mathbb E_{x\sim P_{data}(x)}[\log D(x)] + \mathbb E_{z\sim P_z(z)}[\log(1-D(G(z)))]$
D的任务是区分G生成的数据与真实数据。

• 学习到的policy的占用率度量 $\rho_\pi$类比于G生成的数据分布。
• 专家经验的占用率度量 $\rho_{\pi_E}$类比于真实数据分布。

GAIL算法

• 期望找到如下式的鞍点 $(\pi,D)$
  $\mathbb E_{\pi_E}[\log(D(s,a))] + \mathbb E_\pi[\log(1-D(s,a))]-\lambda H(\pi)$
• $\pi_\theta$是一个参数化的policy， $\theta$为权重。 $D_\omega$是一个参数化的鉴别器，权重为 $\omega$。
• 对 $\omega$使用Adam梯度算法，从而使上式上升。
• 对 $\theta$使用TRPO算法，从而使上式下降。
• TPRO能够保证 $\pi_{\theta_{i+1}}$不远离 $\pi_{\theta_{i}}$