什么是“卡方检验”？

卡方检验是假设检验的一种，用于分析两个类别变量的相关关系，是一种非参数假设检验，得出的结论无非就是相关或者不相关，所以有的教材上又叫“独立性检验”，所以如果不是很清楚假设检验的朋友们，要好好复习一下假设检验了。

关于假设检验的关键字有：总体、样本、点估计、区间估计、显著性水平、置信区间、统计量、枢轴量、分位点、三大分布、中心极限定理（明确正态分布的重要地位）、抽样分布定理。
如果这些关键字你还比较生疏的话，可以翻翻本科的《概率论与数理统计》教材，在“数理统计”部分，你可以找到它们。

卡方检验在做什么？

卡方检验用于分析两个类别变量的相关关系。

• 什么是“类别变量”？

类别变量就是取值为离散值的变量，“性别”就是一个类别变量，它的取值只有“男”和“女”，类似还有”婚否“、”国籍“等。

• 什么是“分析两个类别变量的相关关系”？

以我们熟知的 Kaggle 平台上的泰坦尼克号幸存者预测提供的数据为例，”性别“对于”是否幸存“的关系研究，就属于这方面的内容。研究表明，泰坦尼克号上的乘客秉承”女士优先，照顾弱势群体“的基本原则，因此女性幸存的概率比男性要大，这就说明，”性别“对于”是否幸存“有相关关系，我们后面会使用卡方检验来验证这一事实。

假设检验

假设检验，顾名思义，就是提出一个假设，然后检验你提出的假设是否正确。假设检验的流程其实是固定的，关键其实在于理解假设检验的设计原则。

什么是假设？

那么我们假设什么呢？这里就要引入“原假设”和“备择假设”的概念了，“原假设”是“备择假设”的对立面。下面这个原则很重要：

备择假设通常是研究者想收集证据予以支持的假设；
原假设是研究者想收集证据予以推翻的假设。

重要的事情，我再写两遍：如果你想通过种种论证，证明一件事情，就要把这件事情写成“备择假设”。备择假设通常用于表达研究者自己倾向于支持的看法（这很主观），然后就是想办法收集证据拒绝原假设，以支持备择假设。

特别要说明的一点是：如果你不遵守这个“原假设”和“备择假设”设计的基本原则，你很可能会得到相反的结论。

假设检验很像司法界对于一个事实的认定，本着“疑罪从无”的原则，如果你要说明一个人有罪，你必须提供充足的证据，否则被告人的罪名就不能成立，这个说法叫“没有充分的证据证明被告有罪”。

因此，如果我们最后的结论是“原假设”成立，我们一般不这么说，即我们不说“原假设”成立，我们不说“原假设”是真的。我们说不能拒绝“原假设”，或者说没有充分的证据拒绝“原假设”，或者说没有充分的证据证明“备择假设”成立。

卡方检验的“原假设”与“备择假设”

因为我们做假设检验一定是觉得两个类别变量有关系，才去做检验。再想想那个“疑罪从无”原则，我们是觉得一个人有罪，才去举证。因此卡方检验的“原假设”一定是假设独立，“备择假设”一定是假设相关，即：

原假设：类别变量 $A$ 与类别变量 $B$ 独立；
备择假设：类别变量 $A$ 与类别变量 $B$ 不独立 。

这一点应该是极其明确的，在统计软件中都是这样设定的。

如何检验？

做“检验”这件事情，就很像我们以前做的“反证法”，我们假定要证明的结论的对立面成立，然后推出矛盾，即说明了我们的假设是错误的，即原命题成立。请看下面这个例子：

请你证明：这个餐厅的菜很难吃。
证明：假设这个餐厅的菜很好吃，那么周末的晚上生意一定很好，然而实际观察下来，顾客流量和平时一样，推出矛盾，所以假设不成立，即这个餐厅的菜很难吃。

用假设检验的思路，在这个例子中：
原假设：这个餐厅的菜很好吃；
备择假设：这个餐厅的菜很难吃。

我们把倾向于要证明的结论设置为“备择假设”，而推理是基于“原假设”成立进行的，推理得出矛盾，说明“原假设”错误，从错误的起点推出了错误的结论，因此“原假设”不成立，这就是假设检验里面说的“拒绝原假设”。

因此，检验其实很简单，就是一个是非论证的过程，是单选题，只有两个选项，选择其一。

假设检验如何论证？

假设检验的论证流程其实是固定的。论证依据的事实是“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”，通常，我们得到的矛盾就在于：通过计算统计量，发现通过一次试验得到这个统计量是一个“小概率事件”，“小概率事件”在一次试验中，居然发生了，我们就认为这是很“诡异”的，一定是之前的某个环节出了问题，即“原假设”不成立，于是拒绝“原假设”，即证明了“备择假设”成立。

为什么叫“卡方检验”？

“卡方检验”即利用“卡方分布”去做“假设检验”。

什么是“卡方分布”？

“卡方分布”（也写作 “ $\chi^2$分布”）是统计学领域的三大分布之一，另外两个分布是“ $t$ 分布”与“ $F$ 分布”，这些分布都是由正态分布推导出来的，可以认为它们是我们熟知的分布，因为它们可以取哪些值，以及取这些值的概率都是完全弄清楚了的。

注：忘记了三大分布的朋友们，请一定要翻翻自己本科的教材，看看这些分布用来做什么？为什么出现在“数理统计”中，理解使用这些分布是为了从样本中估计总体的信息。

统计学的研究任务是通过样本研究总体，因为我们无法把所有的总体都做一次测试，一般可行的做法就是从总体中抽取一部分数据，根据对这一部分数据的研究，推测总体的一些性质。

而“三大分布”就是我们研究样本的时候选取的参照物。一般我们研究的思路是这样的：如果经过分析，得出待研究的样本符合这些我们已知的分布之一，因为三大分布是被我们的统计学家完全研究透了的，可以认为是无比正确的，就可以通过查表得到这些分布的信息，进而得到样本的一些性质，帮助我们决策。

这里举一个例子，比如你是一个面试官，你手上掌握着“北京”、“上海”、“广州”三个省市的人才信息库，来了一个面试者，从简历中得知这个人来自“北京”，那么我们就可以直接从“北京”市的人才信息库中查阅到他的详细履历，掌握到他更全面的信息。

上面提到的“北京”、“上海”、“广州” 这 3 个城市的人才信息库，就相当于统计学中的三大分布，你不用记住它，你不用随身携带它，但是你可以查阅它，它会告诉你你想知道的信息。

做假设检验的时候，我们也是类似的思路，我们需要利用总体的样本构造出合适的统计量（或枢轴量），并使其服从或近似地服从已知的确定分布，这样我们就可以查阅这些确定分布的相关信息，得到待研究样本所反映出来的总体的一些性质。

上面说到了“统计量”和“枢轴量”，下面简单谈一谈。

• 什么是“统计量”？
  统计量：不含总体分布未知参数的函数称为样本的统计量。统计量经常作为一个样本的代表，例如平均数、众数、最大值、最小值，统计量由多个数映射成一个数。
• 什么是“枢轴量”？
  枢轴量：仅含有一个未知参数，并且分布已知的样本的函数，称为枢轴量。引入枢轴量的作用，其实就是为了解方程，或者说解不等式，这一部分非常重要的理论基础是“抽样分布定理”。

如果忘记了的朋友们一定要翻翻以前的教程，“抽样分布定理”是非常重要的。根据抽样分布定理，我们经常是这样用的：样本的某个含有未知参数的函数符合某个已知分布，已知分布可以查表，因此未知参数的性质就知道了。求“置信区间”与做“假设检验”通常就是这样的思路。

卡方检验的统计量

$\chi^2=\sum\sum \frac{(f_o-f_e)^2}{f_e}$

说明： $f_o$ 是观测频数（实际值）， $f_e$ 是期望频数（可以认为是理论值），期望频数的计算公式我们马上会介绍到。这个统计量服从自由度为 $(r-1)(c-1)$ 的 $\chi^2$ 分布， $r$ 为行数， $c$ 为列数。

如何理解卡方检验的统计量？

• 我们先看每一个加法因子的分子，是 $(f_o-f_e)^2$，它表示了观察频数和理论频数的“距离”（或者称作“差距”），如果差距越小，卡方统计量的值就越小，则表示观察频数和理论频数越接近；
• 分母是理论频数，表示标准化，想想卡方分布的定义， $n$ 个标准正态分布的平方和，所以这个统计量符合卡方分布（我这个说法只是为了帮助理解统计量的形式，不是严格论证，严格的数学证明请参考相关教材），我们就可以查阅卡方分布表，看看这个卡方分布取到这个统计量的概率有多大，如果这个概率大，表明观察频数和理论频数差别不大，两个类别变量独立，如果这个概率小，表示观察到这个频数的概率很小，即观察频数和理论频数差别显著，拒绝原假设，两个类别变量相关。

下面举个例子，说明卡方检验的基本流程。

例：研究类别变量“青少年行为”与类别变量“家庭状况”的相关关系

以下例子选自中国人民大学龙永红主编《概率论与数理统计》（第三版）P190 “独立性检验”一节例 5.32。

研究青少年行为与家庭状况的关系，调查结果如下：

分析：“青少年行为”是离散型变量，有“犯罪”与“未犯罪”两个取值；“家庭状况”是也离散型变量，有“离异家庭”与“和睦家庭”两个取值，从直觉上，我们认为它们是相关的。因此

上面这张表，我们可以称之为观察频数表，观察依据事实。下面我们会计算一张“理论频数表”，理论依据假设。

• 第 1 步：建立统计假设。

原假设：“青少年行为”与“家庭状况”独立。
备择假设：“青少年行为”与“家庭状况”不独立。

• 第 2 步：计算期望频数与检验统计量。

要计算出检验统计量，关键是计算出期望频数。我们之前说到了，假设检验是基于原假设进行论证，因此我们的期望频数应该是基于【“青少年行为”与“家庭状况”独立】得到的，即：两个类别的交叉项的概率可以根据独立事件的概率乘法公式 $P(AB)=P(A) \cdot P(B)$ 得到。具体是这样做的，上面那张表中，把交叉项隐藏起来：

• 一行一行看，这 $990$ 个青少年里， $P(犯罪)=\cfrac{450}{990}$， $P(未犯罪)=\cfrac{540}{990}$；
• 一列一列看，这 $990$ 个青少年里， $P(离异家庭)=\cfrac{216}{990}$， $P(和睦家庭)=\cfrac{774}{990}$；

在【“青少年行为”与“家庭状况”独立】这个假设下有：

$P(“犯罪”并且“离异家庭”) = P(犯罪) \times P(离异家庭) = \cfrac{450}{990} \times \cfrac{216}{990}$

$P(“犯罪”并且“和睦家庭”) = P(犯罪) \times P(和睦家庭) = \cfrac{450}{990} \times \cfrac{774}{990}$

$P(“未犯罪”并且“离异家庭”) = P(犯罪) \times P(离异家庭) = \cfrac{540}{990} \times \cfrac{216}{990}$

$P(“未犯罪”并且“离异家庭”) = P(犯罪) \times P(离异家庭) = \cfrac{540}{990} \times \cfrac{774}{990}$

我们要计算期望频数，就把上面这 $4$ 个概率分别乘以样本总数 $990$ 就可以了，于是我们得到理论频数表：

下面我们就套公式 $\chi^2=\sum\sum \frac{(f_o-f_e)^2}{f_e}$ 了，将每个单元格的 $\frac{(f_o-f_e)^2}{f_e}$ 加起来，就可以得到 $\chi^2$ 统计量：

$\begin{aligned} \chi^2 &= \cfrac{(178-98.18)^2}{98.18} + \cfrac{(272-351.82)^2}{351.82} + \cfrac{(38-117.82)^2}{117.82} + \cfrac{(502-422.18)^2}{422.18} \\ & \approx 64.89 + 18.11 + 54.06 + 15.09 \\ & \approx 152.15 \end{aligned}$

上面说服从自由度为 $(r-1)(c-1)$ 的 $\chi^2$ 分布， $r$ 为行数， $c$ 为列数，即服从 $(2-1)\times (2-1) = 1$ 的 $\chi^2$ 分布，接下来，我们就要看得到这个统计量的概率有多大：

from scipy import stats
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt


samples = stats.chi2.rvs(size=10000, df=1)
sns.distplot(samples)
plt.title('$\chi^2$,df=1')
plt.show()

得到图像如下：

可以看到， $152.15$ 都不在能图像显示到的范围之内，说明这个概率很低。下面我们或者使用 Python 查一下，这个概率是多少：

from scipy import stats


stats.chi2.pdf(152.15, df=1)

得到： $2.956796099836173e-35$，确实是一个几乎为 $0$ 的数。这说明了什么呢？

说明了，在我们的假设【“青少年行为”与“家庭状况”独立】下，得到这组观测数据的概率很低很低，基于小概率事件在一次试验中几乎不会发生，但它却发生了，就证明了我们的“原假设”是不正确的，即有充分证据决绝“原假设”。（这一部分有点绕，其实很简单，多看几遍就非常清楚了。）

其实到这里，我们对卡方检验就已经介绍完了，是不是觉得很简单。但是在实际操作的过程中，我们还会引入 $p$ 值，很多统计软件也会帮我们计算出 $p$ 值，这个 $p$ 值是个什么鬼呢？下面先给出我的结论：

什么是 $p$ 值？

为什么提出了 $p$ 值？检验统计量有什么不好？

说明：以下我根据对 $p$ 值的理解自己总结的，是人话，但不一定准确。

得到“检验统计量”有个缺点，就是它是一个很“死”的数字，我们看到 $152.15$，我们只能直观感觉它很大，因为如果观察频数与理论频数大约相等，这个值应该很小，但不能量化这个值有多大。这只是统计量服从某个自由度的卡方分布的情况。

那么问题来了，如果统计量服从其它分布呢？统计量这个干巴巴的数字，你怎么知道这个这个分布取到这个统计量的概率有多大？因此还差一步，我们还必须查表。所以得到 $p$ 值的过程就是帮你查表了， $p$ 值是一个概率值，它介于 $0$ 和 $1$ 之间， $p$ 值是当前分布取到这个统计量的概率到当前分布极端值（指的是概率很小的极端值）这个区间的累计概率之和，即取到这个值，到比这个值更“差”的概率之和，如果 $p$ 值很大，说明统计量取当前值的概率在一个正常的范围（一般是认为设定成 $95\%$），如果 $p$ 值很小，说明这个统计量取当前值的概率也非常小。

说明：上面所说的累积概率之和如果很小，小于一个临界值，这个临界值我们称之为“显著性水平”，用 $\alpha$ 表示，一般取 $\alpha = 0.05$。多说一句，这个显著性水平其实是我们在原假设成立的情况下，拒绝原假设的概率，即犯第一类错误的概率，具体就不展开了，请参考相关《概率论与数理统计》教材。

所以我们总结一下：

1、 $p$ 值统一了假设检验的比较标准，把计算统计量的概率大小统一变成计算 $p$ 值，如果这个 $p$ 值小于一个预先设定好的很小的数，则拒绝原假设，如果 $p$ 值大于这个预先设置好的很小的数，则说明没有充分证据拒绝原假设；
2、使用 $p$ 值进行假设检验的时候，会更便利。因此，使用 $p$ 值进行假设检验的评判标准就只要一个，就是记住这句话“小拒大接”，即比 $0.05$ 小，就拒绝“原假设”，比 $0.05$ 大，结论是“没有理由拒绝原假设”。

$p$ 值在不同的检验问题中，计算的方式会有一些不同，区别就在于概率极端值是在一侧还是在两侧。在这里，我们就以卡方检验为例，如果我们计算出来的统计量的值为 $1$，那么看图：

这个时候，统计量取 $1$ 的概率就很高了，从图中可以看出大于 $0.2$。我们作如下分析：

• $\chi^2$ 分布长尾在右边，是个右偏分布，在 $0$ 附近的概率是非常高的，我们要找一个临界值，如果统计量取到这个临界值，以及这个临界值的右边，我们认为这样的事情发生的概率是很低的，这里就要借助累计概率和分位点的概念；

（说明：累计积分和分位点的概念都是十分重要的，在这里就不赘述了，读者可以查阅相关统计学的教材。）

• 我们认为，在 $\chi^2$ 分布，如果一个点到右边无穷的累计积分小于“显著性水平”，我们就认为这个点以及右边所有的点的取值，都是小概率事件。

于是，对于卡方检验而言，得到的统计量，我们可以计算这个从统计量到正无穷的积分，如果这个积分值小于“显著性水平”，即认为这个统计量的概率一定在“显著性水平”所确定的临界点的右边，即它是比“小概率事件”发生的概率还小的“小概率事件”。

下面，我们自己写一个函数来实现卡方检验相关的计算，实现和 scipy 软件包提供的卡方检验同样的效果。

from scipy import stats
from scipy.stats import chi2_contingency


def custom_chi2_contingency(observed):
    """
    自己编写的卡方检验的函数，返回
    """
    # 每一行求和
    row = observed.sum(axis=1)
    # 每一列求和
    col = observed.sum(axis=0)
    # 总数求和
    all_sum = observed.sum()

    # meshgrid 生成网格
    x1, x2 = np.meshgrid(col, row)
    # 期望频数
    expected_count = x1 * x2 / all_sum
    # 统计量，即卡方值
    chi2 = ((observed - expected_count)**2 / expected_count).sum()
    # 自由度
    df = (len(row) - 1) * (len(col) - 1)
    # 计算 p 值，这里用到了卡方分布的概率积累函数，
    # 因为这个 cdf 是计算从左边到这点的累计积分，因此用 1 减它
    p = 1 - stats.chi2.cdf(chi2, df=df)
    return chi2, p, df, expected_count

下面验证自定义函数的正确性：

obs = np.array([[178, 272], [38, 502]])
result1 = custom_chi2_contingency(obs)
result2 = chi2_contingency(obs)
print('自定义卡方检验的函数返回：')
print(result1)
print()
print('scipy 提供的卡方检验返回：')
print(result2)

显示：

自定义卡方检验的函数返回：
(152.16271892047084, 0.0, 1, array([[ 98.18181818, 351.81818182],
       [117.81818182, 422.18181818]]))

scipy 提供的卡方检验返回：
(150.2623232486362, 1.5192261812214016e-34, 1, array([[ 98.18181818, 351.81818182],
       [117.81818182, 422.18181818]]))