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动态规划的基本步骤
- 找出最优解的性质,并刻划其结构特征的。(寻找最优解的子问题结构)
- 递归的定义最优解。(根据子问题结构建立问题的递归解式求解最优值)
- 以自底向上的方式计算出最优值(动态规划思想)
- 根据计算最优值时得到的信息,构造最优解。
动态规划总体思想
- 动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将带求解问题分解成若干子问题
- 但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同问题的数目常常有多项式量级。在用分治法求解时,有些子问题被重复计算了许多次。
如何减少子问题的重复计算就是动态规划算法的关键解决思想!
在我们的计算机中,它的最大的优势是什么,就是它的记忆性好,它有无限的存储空间。如果能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出以求得的答案,就可以避免大量的重复计算,从而得到多项式时间算法。
动态规划算法的基本要素
通过以上,我们可以得到两个动态规划算法的基本要素
1. 最优子结构
2. 重叠子问题
举个例子
在满足运行效率的要求上,多个矩阵的连乘功能
在这里我们要知道:对于 p×q 矩阵A 和 q×r 矩阵B,AB需要 ? 标准乘法计算.
也就是说不同的加括号的形式,我们矩阵连乘需要的数乘次数是不同的。(这就是我们要讨论的矩阵连乘问题的最优子结构)
问题分析
用递归算法
可以看到黄色部分有很多重复的子问题,那可不可以在递归算法中添加表记录已计算的结果?减少计算量?
备忘录方法
自顶向下
动态规划
自底向上