在之前学习线性代数的时候,我们总是说矩阵乘以向量就是对其进行了线性变换,而且我们可以很容易的计算出结果,但是我们并不知道其在形象的几何角度有什么意义。于是我们可以这样来理解:
首先,向量可以有三种表示形式,带有箭头的有向线段,符号以及,下面我们将在这三种表示中来回转换,并且以二维空间为例,来说明其中之奥秘。
一、向量在空间中的表示
任何一个空间都可以由一组基构成,言外之意,这个空间上的任何一个点(向量)都可以由这组基以线性组合的形式得到。比如,X-Y平面,其实就是一组基张成的空间,而我们所说的向量其实就是线性组合。
二、矩阵乘以向量与线性变换的意义
矩阵乘的意义,其实就是将一个向量,经过某个函数(矩阵)之后,输出成为另外一个向量。或者说,变换就是意味着,将原来的向量运动(变换)到另一个地方。而线性变换,也就是在变换的基础上,再加一个条件,线性的,也就是原来的一条直线,在变换了之后还应该是直线。
下面我们来理解什么是线性变换。为了避免混淆,我们不用XY的xy基底,而是选用一组新的基底来描述原空间的基。
假设我们有原向量, 而我们想要把向量经过矩阵A变换成另外一个向量。假设我们的变换矩阵(逆时针旋转90度),我们来看,按照之前计算的结果是,先记录下这个结果。
我们再来看另外一种解释:矩阵A对向量的变换,其实是施加在其基底上的变换,而新的向量关于新的基底的线性组合,与原来的向量关于原来的基底的线性组合,是一样的。看解释:
左图中,,线性变换的系数为(1,1)。经过线性变换A之后变成新的基底。而新的向量,其关于基底的系数也是(1,1)。并且最后的计算结果是不是和上面我们之前计算的一样?
所以我们说,一个向量,在经过一个矩阵A的变换之后,改变的是组成向量的基,而这个向量关于基的线性组合方式是没有变化的。
换句话说,对于一个线性变换,我们只需要跟踪其基在变换前后的变化,便可以掌握整个空间的变化。而矩阵A的列其实与变换后新的基底之间有着某些联系,也就是说,新的基底其实就是矩阵A的列向量的线性组合:,其中是A的列。说到这里,也就是说,其实矩阵A的列空间,在某种意义上就代表了变换后的新的空间。(关于矩阵的列空间、特征向量会在后面的博客中说明)。
三、非列满秩矩阵
如果说有一个变换(矩阵A),其列是相关的(如),那么也就代表,经过这个矩阵变换后的新的空间的两个基底是在一条直线上,那么新的空间就不是一个平面,而是一条直线了。说到这里,对矩阵的秩和其空间的维度之间是不是也联系起来了,以及线性相关线性无关。
四、矩阵相乘
通过上面的解释,我们已经知道,原来矩阵其实就对应着某种变换,是矩阵对于向量的变换,而涵盖所有向量的几何就叫空间,所以一个矩阵就对应着一个空间变换的概念。但这是矩阵乘以向量代表的是对向量的变换,那么矩阵相乘呢?
矩阵相乘其实就意味着对向量(空间)进行两次变换的叠加效果。并且先变换A后变换B和先变换B后变换A是不一样的,因此AB和BA不相等。