【参考资料】
【1】《差分方程及其应用》
【2】http://www.docin.com/p-651898262.html
【3】http://www.docin.com/p-590864759.html

差分方程定义

设t取离散的等间隔整数值，有 $y_t=f(t)$，这里 $y_t$的取值是一个序列。以二阶差分为例:
$y_{t+2} + a(t)y_{t+1} + b(t)y_t = f(t) $
注:这里 $a(t) \quad b(t) \quad f(t)$都是自变量为t的已知函数。如果f(t)不为零，则称其为二阶非齐次线性差分方程。

二阶齐次解的结构

若函数 $y_1(t)$和 $y_2(t)$是二阶齐次线性差分方程的线性无关特解,则 $y_C(t)=C_1y_1(t) + C_2y_2(t)$是该方程的通解，其中 $C_1 \quad C_2$是任意常数。

二阶非齐次解的结构

若函数 $y^*(t)$是二阶线性非齐次方程的一个特解, $y_C(t)$是对应齐次方程的一个通解，则该差分方程的通解为: $y_t = Y_C(t) + y^*(t)$

一阶常系数差分方程求解

有一阶常系数差分方程 $y_{t+1} + ay_t = f(t)$

第一步：我们有对应的齐次方程 $y_{t+1} + ay_t = 0$，由于 $y_{t+1}$是 $y_t$的常数倍，因此令 $y_t = \lambda^t$

第二步：带入得到 $\lambda^{t+1} + a \lambda^t = 0$,得到解 $\lambda = -a$

第三步：我们得到齐次方程的通解 $y_t = C(-a)^t$，其中C为任意常数

第四步：根据f(t)求非齐次方程的特解，如下:

例题

n阶常系数线性差分方程求解

n阶常系数线性差分方程的一般形式:

$y_{t+n} + a_1y_{t+n-1} + ... + a_{n-1}y_{t+1} + a_ny_t=f(t)$

第一步:将 $y_t = \lambda^t$带入齐次方程，得到特征方程:
$\lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + ... + a_{n-1}\lambda + a_n = 0$

第二步: 计算通解，用两种可能：

1. 有实特征根 $\lambda$，其重复次数为m，则 $\lambda^t, t \lambda^t, ..., t^{m-1} \lambda^t$是其m个线性无关特征解
2. 有共轭复根 $\lambda = a \pm bi$，其重复次数为k，则

$\begin{cases} r^tcos \omega t, t r^tcos \omega t, ...., , t^{k-1} r^tcos \omega t \\ r^tsin \omega t, t r^tsin \omega t, ...., , t^{k-1} r^tsin \omega t \end{cases}$
其中 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$， $tan \omega = \dfrac{b}{a}$

第三步: 采用待定系数法计算特解

将 $\bar{y_t}=Bt^{n-1}$，包括 $B Bt Bt^2 Bt^{n-1}$带入原始计算

第四步: 组合通解和特解得到最终解

例题: