【参考资料】
【1】《实变函数与泛函分析基础》
【2】陶哲轩 《实分析》

非负简单函数

定义: 设f(x)的定义域E可分为有限个互不相交的可测集 $E_1, E_2, ... , E_s$,有 $E = \bigcup\limits_{i=1}^{s}E_i$,使f(x)在每个 $E_i$上都等于某常数 $c_i$，则称f(x)为简单函数。

定义: 设 $E \subseteq R^q$为可测集， $\phi(x)$为E上的一个非负简单函数，即E为有限个互不相交的可测集 $E_1, E_2, ... , E_s$之并，则有: $\phi(x) = \sum\limits_{i=1}^{k}c_i X_{E_i}(x)$, $X_{E_i}(x)$是 $E_i$上的特征函数。

举例:

$D(x) = \begin{cases} 1, & x \in Q \\ 0, & x \in Q^c \end{cases}$
则 $\int_{R}D(x)dx = 1 \cdot mQ + 0 \cdot mQ^c = 1 \cdot 0 + 0 \cdot +\infty = 0$

非负可测函数

定义: 设 $E \subseteq R^q$为可测集,f(x)是E上的一个非负可测函数，f(x)在E上的勒贝格积分定义为 $\int_Ef(x)dx = sup \{\int_E \phi(x)dx:$ $\phi(x)$是E上的非负简单函数，且 $x \in E ,0 \le \phi(x) \le f(x)\}$

即对非负函数而言，其积分是小于它的简单函数的积分取最大值。

一般可测函数

定义: 设 $E \subseteq R^q$为可测集，f(x)为E上的可测函数，定义它的正部和负部如下：
$f^+(x)=max(f(x),0)$和 $f^-(x)=-min(f(x),0)$
可知 $f^+$和 $f^-$都是非负可测函数，同时有：
$f = f^+ - f^-$以及 $|f|=f^+ + f^-$
若 $f^+$或 $f^-$有一个有限，则称f在E上积分确定，即f在E上的勒贝格积分为 $\int_E f^+(x)dx - \int_E f^-(x)dx$

备注: 在非负可测函数和一般可测函数的勒贝格积分章节，并不讨论具体积分的求值，而是探讨其积分具备的公理，如线性、可数可加性等等，本次不作赘述。

与黎曼积分的比较

定理: 设f(x)在[a, b]上的一个有界函数，若f(x)在[a,b]上R可积，则f(x)在[a, b]上L可积，且:
$(L)\int_{[a,b]}f(x)dx = (R)\int_a^bf(x)dx$