导语：内积空间中的内积可以定义范数，反之，范数不一定非要内积来定义，所以说赋范线性空间是比内积空间更广泛的概念。距离可以用范数定义，反之，只有距离满足平移不变和齐次性才能定义一个范数，因此度量空间比赋范线性空间广泛。Banach空间是完备的赋范线性空间。Hilbert空间是完备的内积空间。所以Hilbert空间是Banach空间的特例，Banach空间是完备距离空间的特例。在数学里，尤其是在泛函分析之中，巴拿赫空间是一个完备赋范向量空间。更精确地说，巴拿赫空间是一个具有范数并对此范数完备的向量空间。Lp空间是由p次可积函数组成的空间；对应的lp空间是由 p次可和序列组成的空间。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了Banach空间一类重要的例子。

上篇博客介绍了逐项可积的情况，本篇文章介绍逐项不可积分。首先引入狄利克雷函数：

 设L是直线上某些子集所组成的集。m是L上的测度，应该满足一下性质：

 内测度：

 基本的定义

环上的测度

了解了以上概念，接下来可以定义环上的测度了。

定义1：构造一个集函数，它能赋予实数集簇М中的每一个集合E一个非负扩充实数mE。我们将此集函数称为E的测度 。
定义2：设Γ是集合X上一σ代数，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函数，且ρ满足：
（1）（非负性）对任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;
（2）（规范性）ρ(Φ) = 0；
（3）（完全可加性） 对任意的一列两两不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）
则称ρ是定义在X上的一个测度，Γ中的集合是可测集，不在Γ中的集合是不可测集。特别的，若ρ(X) = 1 ，则称ρ为概率测度。

个人理解：由以上定义可以得知，测度首先是一个函数，函数的自变量是可测集，因变量也就是输出是实数域。它是一个集函数，也可以划分为泛函数。

接下来关于测度的性质忽略，直接记下可测函数的积分。