总述：内积空间中的内积可以定义范数，反之，范数不一定非要内积来定义，所以说赋范线性空间是比内积空间更广泛的概念。距离可以用范数定义，反之，只有距离满足平移不变和齐次性才能定义一个范数，因此度量空间比赋范线性空间广泛。Banach空间是完备的赋范线性空间。Hilbert空间是完备的内积空间。所以Hilbert空间是Banach空间的特例，Banach空间是完备距离空间的特例。在数学里，尤其是在泛函分析之中，巴拿赫空间是一个完备赋范向量空间。更精确地说，巴拿赫空间是一个具有范数并对此范数完备的向量空间。Lp空间是由p次可积函数组成的空间；对应的lp空间是由 p次可和序列组成的空间。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了Banach空间一类重要的例子。
之前的测度论，可测函数积分以后补上。
1.距离与范数
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距离与范数的关系：
范数的确定值：
以下为本人的证明：
依照范数的4个性质来区分谁是半范数，谁是范数。