实变函数与泛函数分析学习笔记（二）：距离与范数

导语：现代数学入门的钥匙就是实变函数与泛函数分析。数学，物理学，计算机学科，神经生物学相互交叉构成了AI的基础。深入研究AI，尤其是神经规则推理以及下一代AI技术，必须修炼好内功。非数学专业的学生，可能学过傅立叶变换，方向导数与梯度这些。但是对这些概念的理解还需要继续深入，除了泛函数分析，与此相关的还有凸优化，矩阵论，这些都是必修的内功。关于数据结构，要达到能够独立设计优秀的数据结构的程度，不仅限于使用现成的工具（本人有优先级队列设计的博客：https://blog.csdn.net/randy_01/article/details/82835837）。可以业余研究一下类脑学科，心理学，为AI的理论创新打下基础。关于当前的AI以及nlp的看法，欢迎看本人的这篇博客，不吝赐教：https://blog.csdn.net/randy_01/article/details/82837263

总述：内积空间中的内积可以定义范数，反之，范数不一定非要内积来定义，所以说赋范线性空间是比内积空间更广泛的概念。距离可以用范数定义，反之，只有距离满足平移不变和齐次性才能定义一个范数，因此度量空间比赋范线性空间广泛。Banach空间是完备的赋范线性空间。Hilbert空间是完备的内积空间。所以Hilbert空间是Banach空间的特例，Banach空间是完备距离空间的特例。在数学里，尤其是在泛函分析之中，巴拿赫空间是一个完备赋范向量空间。更精确地说，巴拿赫空间是一个具有范数并对此范数完备的向量空间。Lp空间是由p次可积函数组成的空间；对应的lp空间是由 p次可和序列组成的空间。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了Banach空间一类重要的例子。

之前的测度论，可测函数积分以后补上。