刚体变换/3维空间中的旋转运动/3维空间中的刚体运动

这篇文章的内容来源于《A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation》。

一、重要数学符号的含义

首先介绍若干符号及含义，一些同学可能已经知道旋转矩阵和齐次变换矩阵的形式，现在是将其一般化，即用$SO\left( 3 \right)$和$SE\left( 3 \right)$表示，另外一些符号是为了引出螺旋运动概念而做的铺垫。

1. $SO\left( 3 \right)$:特殊正交矩阵群，可以表示为刚体的位形空间。即可表示刚体的位形，也可以实现同一点在不同坐标系中的变换，$SO\left( 3 \right)=\left\{ R\in {{R}^{3\times 3}}:R{{R}^{T}}=I,\det R=+1 \right\}$。
2. $so\left( 3 \right)$ ：是反对称矩阵$\overset{\wedge }{\mathop{w}}\,$，是$SO\left( 3 \right)$的李代数。$\overset{\wedge }{\mathop{w}}=\left[ \begin{matrix} 0 & -{{w}_{3}} & {{w}_{2}} \\ {{w}_{3}} & 0 & -{{w}_{1}} \\ -{{w}_{2}} & {{w}_{1}} & 0 \\ \end{matrix} \right]$；
3. $SE\left( 3 \right)$ :特殊欧氏群，即可用于确定刚体的位形（configuration），又可用于一点由一个坐标到另一个坐标的坐标变换，$SE(3)=\left\{ (p,R):p\in {{R}^{3}},R\in SO(3) \right\}={{R}^{3}}\times SO(3)$；
4. $se\left( 3 \right)$ :$SE\left( 3 \right)$的李代数，其中的元素叫做运动旋量（twisit）,$se\left( 3 \right)=\left\{ (\overset{\wedge }{\mathop{w}}\,,v)|\overset{\wedge }{\mathop{w}}\,\in so\left( 3 \right),v\in {{R}^{3}} \right\}$
5. $w$ ：关节转动中心轴的向量表示形式；
6. $\overset{\wedge }{\mathop{w}}\,$ ：关节转动中心轴的反对称矩阵表示形式， $$\overset{\wedge }{\mathop{w}}=\left[ \begin{matrix} 0 & -{{w}_{3}} & {{w}_{2}} \\ {{w}_{3}} & 0 & -{{w}_{1}} \\ -{{w}_{2}} & {{w}_{1}} & 0 \\ \end{matrix} \right]$$ ；
7. $\overset{\wedge }{\mathop{\xi }}\,$ ：$se\left( 3 \right)$ 的$4\times 4$矩阵形式： $$\overset{\wedge }{\mathop{\xi }}= \begin{bmatrix} {\overset{\wedge }{w}} & v \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$ ；
8. $\xi$ ：$\xi =\left( \begin{matrix} v & w \ \end{matrix} \right)\in {{R}^{6}}$为$\overset{\wedge }{\mathop{\xi }}$的运动旋量坐标（twist coordination）。
9. ${{e}^{\overset{\wedge }{\mathop{\xi }}\,\theta }}$：这是引出螺旋运动的重要的定义，表示从$se\left( 3 \right)$ 到$SE\left( 3 \right)$ 的指数变换，对于给定的$\xi \in se\left( 3 \right)$ 和$\theta \in R$ ，$\overset{\wedge }{\mathop{\xi }}\,\theta$ 的指数为$SE\left( 3 \right)$ 的元素，即${{e}^{\overset{\wedge }{\mathop{\xi }}\,\theta }}\in SE\left( 3 \right)$，${{e}^{\overset{\wedge }{\mathop{\xi }}\,\theta }}$的一般形式为：
   $$\left[ \begin{matrix} {{e}^{\overset{\wedge }{\mathop{w}}\,\theta }} & \left( I-{{e}^{\overset{\wedge }{\mathop{w}}\,\theta }} \right)\left( w\times v \right)+w{{w}^{T}}v\theta \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right](w\ne 0)$$

二、螺旋运动

螺旋运动（Chasles定理）：任意刚体运动均可通过绕一轴的转动加上平行于该轴的移动实现。
螺旋运动以${{e}^{\overset{\wedge }{\mathop{\xi }}\,\theta }}$为核心，下面是分别对点和坐标系的作用及含义：

1. $p\left( \theta \right)={{e}^{\overset{\wedge }{\mathop{\xi }}\,\theta }}p\left( 0 \right)$：对于一点，${{e}^{\overset{\wedge }{\mathop{\xi }}\,\theta }}$作为一个映射，将一点（起始坐标$p\left( 0 \right)\in {{R}^{3}}$）变换到经刚体运动后的坐标$p\left( \theta \right)={{e}^{\overset{\wedge }{\mathop{\xi }}\,\theta }}p\left( 0 \right)$ ，注意变换前和变换后的坐标均以相同的坐标系为参考坐标。
   
2. ${{g}_{ab}}\left( \theta \right)={{e}^{\overset{\wedge }{\mathop{\xi }}\,\theta }}{{g}_{ab}}\left( 0 \right)$：如果B系固连在刚体上，经螺旋运动后，B系相对于固定的A系的瞬时位形为：${{g}_{ab}}\left( \theta \right)={{e}^{\overset{\wedge }{\mathop{\xi }}\,\theta }}{{g}_{ab}}\left( 0 \right)$ ，该变换的意义是：乘上${{g}_{ab}}\left( 0 \right)$表示将一点相对于B系的坐标变换为相对于A系的坐标，指数变换则是将点变换到最终位置（仍以A系为参考坐标）。

三、李群、李代数和螺旋运动的应用

李群和李代数是SLAM和机械臂运动规划的基本数学基础。另外李群、李代数和螺旋理论还可以构造机械臂的正运动学模型，是DH建模方法的一种有效的替代方法，这种方法叫做指数积公式法，对SCARA机械臂和拟人机械臂的正运动学建模示例可见点此链接。

参考文献：
A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation.