容斥
错排问题
\(n\)个人要站队，每个人有编号，第\(i\)个人不能站在第\(i\)个位置，求方案数。
\(n \leqslant 1e5\)
设\(g[i]\)表示至少有\(i\)个人站对了的方案数，剩下的人乱站，那么很显然可以得到
\[ g[i]=(n-i)! \]
设\(f[i]\)表示恰好有\(i\)个人站对了的方案数，然后根据容斥乱猜以及理(bu)性(xiang)分(zheng)析(ming)，可以得到：
\[ f[n]=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}g[i] \]
然后分析下为什么是对的。
考虑任意一种有\(m\)个人站对了的方案，可以发现，在算至少0个到至少\(m-1\)个时，这一种方案会被算到这么多次：
\[ \begin{align} &~~~~\sum_{i=0}^{m-1}(-1)^i\binom{m}{i}\\ &=\sum_{i=0}^{m}(-1)^i\binom{m}{i}-(-1)^m\\ &=(1+(-1))^m-(-1)^m\\ &=-(-1)^m \end {align} \]
既然多算了这么多次，就把他减掉，所以是正确的。
对于上面的式子，有一个特例，即：
\[ \sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}=[n=0] \]
即当n不为0时，上面的式子才为0 。
现在考虑下为什么是这样的。
首先有一个很显然的式子：
\[ g[n]=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f[i] \]
但是我们现在只知道算\(g\)，而不会算\(f\)。
先说句废话：
\[ f[n]=\sum_{i=0}^n[n-i=0]\binom{n}{i}f[i] \]
然后可以发现这个式子中间的部分和上面的式子有点像，带进去试试。
\[ f[n]=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i}(-1)^j\binom{n-i}{j}\binom{n}{i}f[i] \]
然后魔术开始：
对于\(\binom{n-i}{j}\binom{n}{i}\)，其实就是从\(n\)个里选出\(i\)个，在选出\(j\)个的方案数，所以可以调换下顺序，等价于\(\binom{n-j}{i}\binom{n}{j}\)
所以原式就会等于
\[ f[n]=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i}(-1)^j\binom{n-j}{i}\binom{n}{j}f[i] \]
调换下枚举顺序
\[ f[n]=\sum_{j=0}^n(-1)^j\binom{n}{j}\sum_{i=0}^{n-j}\binom{n-j}{i}f[i] \]
注意下后面那个玩意，发现这个和\(g\)有点像
\[ \begin{align} f[n]&=\sum_{j=0}^n(-1)^j\binom{n}{j}g[n-j]\\ &=\sum_{j=0}^n(-1)^j\binom{n}{n-j}g[n-j]\\ &=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}g[n] \end{align} \]
这就是一开始的那个式子。
总结
对于一个问题，如果有N个约束条件，求满足0个条件的方案数，
设\(f[i]\)为恰好有i个约束条件满足，\(g[i]\)为至少有i个条件被满足，
显然有
\[ g[n]=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f[i] \]
然后可以得到
\[ f[n]=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}g[i] \]
这就是容斥原理，也叫二项式反演。