一、复数的几何表示
学习目标
会求复数的模与辐角、辐角主值.
复数的代数表示、三角表示、指数表示要会相互转换.
已知一个复数方程要会判别它是什么曲线.
已知曲线的实数方程要会写出相应的复数方程.
1、复数的模与辐角、辐角主值
1.1、模
在复平面上,复数
z
z
z 与从原点指向点
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z = x + i y 的平面向量一一对应,因此复数
z
z
z 能用向量来表示。向量的长度称为
z
z
z 的模
或绝对值,记作
∣
z
∣
=
r
=
x
2
+
y
2
|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}
∣ z ∣ = r = x 2 + y 2
1.2、辐角
在
z
≠
0
z\neq0
z ̸ = 0 的情况下,以正实轴为初始边,以表示
z
z
z 的向量为终边的角的弧度数
θ
\theta
θ 称为
z
z
z 的辐角
,记作
A
r
g
z
=
θ
Argz=\theta
A r g z = θ 这时有
t
a
n
(
A
r
g
z
)
=
y
x
tan(Argz)=\frac{y}{x}
t a n ( A r g z ) = x y 我们知道,任何一个复数
z
≠
0
z\neq0
z ̸ = 0 有无穷
多个辐角. 如果
θ
1
\theta_1
θ 1 是其中一个,那么
A
r
g
z
=
θ
1
+
2
k
π
(
k
为
任
意
整
数
)
Argz=\theta_1+2k\pi(k为任意整数)
A r g z = θ 1 + 2 k π ( k 为 任 意 整 数 ) 就给出了
z
z
z 的全部辐角.
1.3、辐角主值
在
z
(
≠
0
)
z(\neq0)
z ( ̸ = 0 ) 的辐角中,我们把满足
−
π
<
θ
0
≤
π
-\pi<\theta_0\leq\pi
− π < θ 0 ≤ π 的
θ
0
\theta_0
θ 0 称为
A
r
g
z
Argz
A r g z 的主值
,记作
θ
0
=
a
r
g
z
\theta_0=argz
θ 0 = a r g z 特别注意:当
z
=
0
z=0
z = 0 时,
∣
z
∣
=
0
|z|=0
∣ z ∣ = 0 ,而辐角不确定.
1.4、辐角主值的计算
在
z
≠
0
z\neq0
z ̸ = 0 的情况下,辐角主值可以这样求:
a
r
g
z
=
{
a
r
c
t
a
n
y
x
x
>
0
π
2
x
=
0
,
y
>
0
−
π
2
x
=
0
,
y
<
0
a
r
c
t
a
n
y
x
+
π
x
<
0
,
y
≥
0
a
r
c
t
a
n
y
x
−
π
x
<
0
,
y
<
0
argz =\begin{cases} arctan \frac{y}{x} & x>0 \\ \ \ \ \ \ \frac{\pi}{2} & x=0,y>0 \\ \ \ -\frac{\pi}{2} &x=0,y<0 \\ arctan\frac{y}{x}+\pi &x<0,y\geq0 \\ arctan\frac{y}{x}-\pi & x<0,y<0 \end{cases}
a r g z = ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ a r c t a n x y 2 π − 2 π a r c t a n x y + π a r c t a n x y − π x > 0 x = 0 , y > 0 x = 0 , y < 0 x < 0 , y ≥ 0 x < 0 , y < 0
1.5、辐角的计算
A
r
g
z
=
a
r
g
z
+
2
k
π
(
k
为
任
意
整
数
)
Argz=argz+2k\pi(k为任意整数)
A r g z = a r g z + 2 k π ( k 为 任 意 整 数 )
2、复数的表示
2.1、代数表示
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z = x + i y
2.2、三角表示
利用直角坐标与极坐标的关系:
x
=
r
c
o
s
θ
,
y
=
r
s
i
n
θ
x=rcos\theta,y=rsin\theta
x = r c o s θ , y = r s i n θ ,还可以把
z
z
z 表示成下面的形式:
z
=
r
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
z=r(cos\theta+isin\theta)
z = r ( c o s θ + i s i n θ ) 称为复数的三角表达式
.
2.3、指数表示
再利用欧拉公式:
e
i
θ
=
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta
e i θ = c o s θ + i s i n θ ,我们又可以得到
z
=
r
e
i
θ
z=re^{i\theta}
z = r e i θ 这种表示形式称为复数的指数表达式
.
二、复数的乘幂与方根
学习目标
会用三角形式与指数形式求两个复数乘积与商
理解两个复数乘积的几何意义
会用三角形式与指数形式求复数的幂与方根
1、乘积
定理
:两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于他们的辐角的和。 三角形式
:设有两个复数:
z
1
=
r
1
(
c
o
s
θ
1
+
i
s
i
n
θ
1
)
,
z
2
=
r
2
(
c
o
s
θ
2
+
i
s
i
n
θ
2
)
z_1=r_1(cos\theta_1+isin\theta_1),z_2=r_2(cos\theta_2+isin\theta_2)
z 1 = r 1 ( c o s θ 1 + i s i n θ 1 ) , z 2 = r 2 ( c o s θ 2 + i s i n θ 2 ) 那么
z
1
z
2
=
(
c
o
s
θ
1
+
i
s
i
n
θ
1
)
(
c
o
s
θ
2
+
i
s
i
n
θ
2
)
z_1z_2=(cos\theta_1+isin\theta_1)(cos\theta_2+isin\theta_2)
z 1 z 2 = ( c o s θ 1 + i s i n θ 1 ) ( c o s θ 2 + i s i n θ 2 )
=
r
1
r
2
[
(
c
o
s
θ
1
c
o
s
θ
2
−
s
i
n
θ
1
s
i
n
θ
2
)
=r_1r_2[(cos\theta_1cos\theta_2-sin\theta_1sin\theta_2)
= r 1 r 2 [ ( c o s θ 1 c o s θ 2 − s i n θ 1 s i n θ 2 )
+
i
(
s
i
n
θ
1
c
o
s
θ
2
+
c
o
s
θ
1
s
i
n
θ
2
)
]
+i(sin\theta_1cos\theta_2+cos\theta_1sin\theta_2)]
+ i ( s i n θ 1 c o s θ 2 + c o s θ 1 s i n θ 2 ) ]
=
r
1
r
2
[
c
o
s
(
θ
1
+
θ
2
)
+
i
(
s
i
n
θ
1
+
s
i
n
θ
2
)
]
=r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2)+i(sin\theta_1+sin\theta_2)]
= r 1 r 2 [ c o s ( θ 1 + θ 2 ) + i ( s i n θ 1 + s i n θ 2 ) ] 于是
∣
z
1
z
2
∣
=
∣
z
1
∣
∣
z
2
∣
|z_1z_2|=|z_1||z_2|
∣ z 1 z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ∣ z 2 ∣
A
r
g
(
z
1
z
2
)
=
A
r
g
z
1
+
A
r
g
z
2
Arg(z_1z_2)=Argz_1+Argz_2
A r g ( z 1 z 2 ) = A r g z 1 + A r g z 2 指数形式
:如果用指数形式表示复数:
z
1
=
r
1
e
i
θ
1
,
z
2
=
r
2
e
i
θ
2
z_1=r_1e^{i\theta_1},z_2=r_2e^{i\theta_2}
z 1 = r 1 e i θ 1 , z 2 = r 2 e i θ 2 那么可以简明的表示为:
z
1
z
2
=
r
1
r
2
e
i
(
θ
1
+
θ
2
)
z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta1+\theta_2)}
z 1 z 2 = r 1 r 2 e i ( θ 1 + θ 2 )
2、商
定理
:两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差 按照商的定义,当
z
1
≠
0
z_1\neq0
z 1 ̸ = 0 时,有
z
2
=
z
2
z
1
z
1
z_2=\frac{z_2}{z_1}z_1
z 2 = z 1 z 2 z 1 由复数乘积的定义,就有
∣
z
2
∣
=
∣
z
2
z
1
∣
∣
z
1
∣
|z_2|=|\frac{z_2}{z_1}||z_1|
∣ z 2 ∣ = ∣ z 1 z 2 ∣ ∣ z 1 ∣
A
r
g
z
2
=
A
r
g
(
z
2
z
1
)
+
A
r
g
z
1
Argz_2=Arg(\frac{z_2}{z_1})+Argz_1
A r g z 2 = A r g ( z 1 z 2 ) + A r g z 1 于是
∣
z
2
z
1
∣
=
∣
z
2
∣
∣
z
1
∣
|\frac{z_2}{z_1}|=\frac{|z_2|}{|z_1|}
∣ z 1 z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ∣ z 2 ∣
A
r
g
(
z
2
z
1
)
=
A
r
g
z
2
−
A
r
g
z
1
Arg(\frac{z_2}{z_1})=Argz_2-Argz_1
A r g ( z 1 z 2 ) = A r g z 2 − A r g z 1 指数形式
:如果用指数形式表示复数:
z
1
=
r
1
e
i
θ
1
,
z
2
=
r
2
e
i
θ
2
z_1=r_1e^{i\theta_1},z_2=r_2e^{i\theta_2}
z 1 = r 1 e i θ 1 , z 2 = r 2 e i θ 2 那么定理可以简明地表示为
z
2
z
1
=
r
2
r
1
e
i
(
θ
2
−
θ
1
)
\frac{z_2}{z_1}=\frac{r_2}{r_1}e^{i(\theta_2-\theta_1)}
z 1 z 2 = r 1 r 2 e i ( θ 2 − θ 1 )
3、幂
n
n
n 个相同复数
z
z
z 的乘积称为
z
z
z 的
n
n
n 次幂,记作
z
n
z^n
z n . 对于任何正整数
n
n
n ,我们有
z
n
=
r
n
(
c
o
s
n
θ
+
i
s
i
n
n
θ
)
z^n=r^n(cosn\theta+isinn\theta)
z n = r n ( c o s n θ + i s i n n θ )
4、根
当
z
z
z 的值不等于零时,就有
n
n
n 个不同的
ω
\omega
ω 值与它对应. 每一个这样的值称为
z
z
z 的
n
n
n 次根,都记作
z
n
\sqrt[n]{z}
n z
,即
ω
=
z
n
=
r
n
(
c
o
s
θ
+
2
k
π
n
+
i
s
i
n
θ
+
2
k
π
n
)
\omega=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+isin\frac{\theta+2k\pi}{n})
ω = n z
= n r
( c o s n θ + 2 k π + i s i n n θ + 2 k π ) 其中
k
=
0
,
1
,
2
,
⋅
⋅
⋅
,
n
−
1
k=0,1,2,···,n-1
k = 0 , 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n − 1
三、映射
学习目标
已知
z
z
z 平面上的曲线,求在函数的映射下对应的
w
w
w 平面的象
1、映射的概念
如果用
z
z
z 平面上的点表示自变量
z
z
z 的值,而用另一个平面——
w
w
w 平面——上的点表示函数
w
w
w 的值,那么函数
w
=
f
(
z
)
w=f(z)
w = f ( z ) 在几何上就可以看做是把
z
z
z 平面上的一个点集
D
D
D (定义集合)变到
w
w
w 平面上的一个点集
G
G
G (函数值集合)的映射
. 其中
w
w
w 称为
z
z
z 的象,而
z
z
z 称为
w
w
w 的原象. 记
z
=
x
+
i
y
,
w
=
u
+
i
v
z=x+iy,w=u+iv
z = x + i y , w = u + i v ,则
u
=
u
(
x
,
y
)
,
v
=
v
(
x
,
y
)
u=u(x,y), v=v(x,y)
u = u ( x , y ) , v = v ( x , y ) .
小牛试刀
T
e
s
t
1
Test1
T e s t 1 :函数
w
=
1
z
w=\frac{1}{z}
w = z 1 把下列
z
z
z 平面上的曲线映射成
w
w
w 平面上怎样的曲线
?
?
?
1
、
x
2
+
y
2
=
4
1、 x^2+y^2=4
1 、 x 2 + y 2 = 4 原式
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
∣
z
∣
=
2
)
(|z|=2)
( ∣ z ∣ = 2 )
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
∣
1
w
∣
=
2
)
(|\frac{1}{w}|=2)
( ∣ w 1 ∣ = 2 )
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
∣
w
∣
=
1
2
)
(|w|=\frac{1}{2})
( ∣ w ∣ = 2 1 )
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
u
2
+
v
2
=
1
4
)
(u^2+v^2=\frac{1}{4})
( u 2 + v 2 = 4 1 )
2
、
x
=
y
2、 x=y
2 、 x = y
(
w
=
1
z
)
(w=\frac{1}{z})
( w = z 1 )
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
w
=
1
x
+
i
y
)
(w=\frac{1}{x+iy})
( w = x + i y 1 )
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
w
=
x
−
i
y
x
2
+
y
2
)
(w=\frac{x-iy}{x^2+y^2})
( w = x 2 + y 2 x − i y )
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
u
=
x
x
2
+
y
2
,
v
=
−
y
x
2
+
y
2
)
(u=\frac{x}{x^2+y^2},v=\frac{-y}{x^2+y^2})
( u = x 2 + y 2 x , v = x 2 + y 2 − y )
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
u
=
1
2
x
,
v
=
−
1
2
x
)
(u=\frac{1}{2x},v=\frac{-1}{2x})
( u = 2 x 1 , v = 2 x − 1 )
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
v
=
−
u
)
(v=-u)
( v = − u )
3
、
x
=
1
3、 x=1
3 、 x = 1
(
u
=
x
x
2
+
y
2
,
v
=
−
y
x
2
+
y
2
)
(u=\frac{x}{x^2+y^2},v=\frac{-y}{x^2+y^2})
( u = x 2 + y 2 x , v = x 2 + y 2 − y )
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
u
=
1
1
+
y
2
,
v
=
−
y
1
+
y
2
)
(u=\frac{1}{1+y^2}, v=\frac{-y}{1+y^2})
( u = 1 + y 2 1 , v = 1 + y 2 − y )
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
u
v
=
1
−
y
)
(\frac{u}{v}=\frac{1}{-y})
( v u = − y 1 )
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
y
=
−
v
u
)
(y=\frac{-v}{u})
( y = u − v )
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
u
=
1
1
+
(
v
u
)
2
)
(u=\frac{1}{1+(\frac{v}{u})^2})
( u = 1 + ( u v ) 2 1 )
⟹
\Longrightarrow
⟹
[
(
u
−
1
2
)
2
+
v
2
=
1
4
]
[(u-\frac{1}{2})^2+v^2=\frac{1}{4}]
[ ( u − 2 1 ) 2 + v 2 = 4 1 ]
4
、
(
x
−
1
)
2
+
y
2
=
1
4、 (x-1)^2+y^2=1
4 、 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 原式
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
∣
z
−
1
∣
=
1
)
(|z-1|=1)
( ∣ z − 1 ∣ = 1 )
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
∣
1
w
−
1
∣
=
1
)
(|\frac{1}{w}-1|=1)
( ∣ w 1 − 1 ∣ = 1 )
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
∣
1
−
w
w
∣
=
1
)
(|\frac{1-w}{w}|=1)
( ∣ w 1 − w ∣ = 1 )
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
∣
1
−
w
∣
=
∣
w
∣
)
(|1-w|=|w|)
( ∣ 1 − w ∣ = ∣ w ∣ )
⟹
\Longrightarrow
⟹
[
(
1
−
u
)
2
+
v
2
=
u
2
+
v
2
]
[(1-u)^2+v^2=u^2+v^2]
[ ( 1 − u ) 2 + v 2 = u 2 + v 2 ]
⟹
\Longrightarrow
⟹
(
u
=
1
2
)
(u=\frac{1}{2})
( u = 2 1 )
T
e
s
t
2
Test2
T e s t 2 :已知映射
w
=
z
3
w=z^3
w = z 3 ,求:
1
)
1)
1 ) 点
z
1
=
i
,
z
2
=
1
+
i
,
z
3
=
3
+
i
z_1=i,z_2=1+i,z_3=\sqrt{3}+i
z 1 = i , z 2 = 1 + i , z 3 = 3
+ i 在
w
w
w 平面上的象;
2
)
2)
2 ) 区域
0
<
a
r
g
z
<
π
3
0<argz<\frac{\pi}{3}
0 < a r g z < 3 π 在
w
w
w 平面上的象.
解
解
解 :
1
)
1)
1 )
w
1
=
z
1
3
=
−
i
w_1={z_1}^3=-i
w 1 = z 1 3 = − i
w
2
=
z
2
3
=
−
2
+
2
i
w_2={z_2}^3=-2+2i
w 2 = z 2 3 = − 2 + 2 i
w
3
=
z
3
3
=
8
i
w_3={z_3}^3=8i
w 3 = z 3 3 = 8 i
2
)
2)
2 ) 根据复数的乘积定理:复数乘积的辐角等于两辐角之和 所以
0
<
w
<
π
0<w<\pi
0 < w < π