第一章 $\quad$复数及复平面

一、复数及其几何表示

1. 复数域

• 基本定义
  复数 $z=x+iy$, 其中 $x,y\in {\bf R}$, $i$是虚数单位(也可记作 $\sqrt{-1}$);
  $x$ 是实部, 记作 $x={\rm Re} \ z$;
  $y$ 是虚部, 记作 $y={\rm Im} \ z$;
  若 ${\rm Im} \ z=0$, 则称 $z$为实数，记作 $z={\rm Re} \ z$;
  若 ${\rm Re} \ z\neq0$, 则称 $z$为虚数;
  若 ${\rm Re} \ z=0$, 则称z为纯虚数，记作 $z = i\ {\rm Im}\ z$

• 全体复数所成的集记作 ${\bf C}$, ${\bf R}$是 ${\bf C}$的一个子集.

• 对复数域引进加、减、乘、除，形成在集 $\bf C$上的一个代数结构, 使其成为复数域 $\bf C$

2. 复平面

• 点表示
  作映射 ${\bf C} \rightarrow {\bf R^2}:z=x+iy\mapsto (x,y) \in {\bf R^2}$, 即一个复数对应一个点，形成双射

• 向量表示

  • 复平面 $\mathbf{C}$上一切向量记作所组成的集记作 $V$.
  • 等价类：一向量经过平行移动(把平行移动记作“关系 $P$”)而的的所有向量，与原向量构成一个等价类.
  • 商集：集 $V$对于关系 $P$的所有等价类构成构成一个新集，称为 $V$关于 $P$的商集, 记作 $V/P$.
  • 综上，一个复数可以由一个向量或它的等价类中任一向量来表示

• 模和辐角

  • 模：向量 $z$的长度，记作 $|z|$, 显然 $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$
  • 辐角：实轴的正向量与向量 $z$之间的夹角(这里假定 $z\neq 0$),记作 $\theta$,显然 $\theta$有无穷多个值，记作 ${\rm Arg}\ z=\theta +2k\pi$或 ${\rm Arg}\ z=\theta+2\pi{\bf Z}$其中 ${\bf Z}=\{0,\pm 1,\pm 2,\cdots\}$, ${\rm Arg}\ z$中只有一个值满足 $-\pi<\alpha \le \pi$, 它叫做 $z$的辐角的主值，记作 ${\rm arg}\ z$.
  • 实部与虚部的模和辐角表示 ${\rm Re}\ z=|z|\cos{{\rm Arg}\ z}, {\rm Im}\ z =|z|\sin{{\rm Arg}\ z}$ 于是 $z$本身可表示为 $z=|z|(\cos{\rm Arg}\ z+i\sin{\rm Arg}\ z)$该式子为 $z$的三角表达式

• 共轭：实部相同, 虚部相反. 其中一个用 $z$表示，则另一个用 $\bar z$表示, 显然 $z$与 $\bar z$关于实轴对称. 且
  $|z|=|\bar z|, {\rm Arg}\ z = -{\rm Arg}\ \bar{z}$

• 相关不等式
  $||z_1|-|z_2||\le |z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$ $||z_1|-|z_2||\le |z_1-z_2|\le |z_1|+|z_2|$ $|{\rm Re}\ z| \le |z|, |{\rm Im}\ z|\le |z|$ $|z|=\sqrt{z\bar{z}}$

3. 复球面及无穷大

即复数在球面上的几何表示.

• 在点坐标是 $(x,y,u)$的三维空间中，把 $xOy$平面看作 $z=x+iy$平面. 考虑球面 $S$ $x^2+y^2+z^2=1$ 取定球面上一点 $N(0,0,1)$, 称为球极.

• 作连接 $N$与 $xOy$平面上任一点 $A(x,y,0)$的直线, 并且设这直线与球面的交点是 $A'(x',y',u')$.

• 那么称 $A'$为 $A$在球面上的球极射影.

• $(x,y,0),(x',y',u'),(0,0,1)$共线 $\Rightarrow x:y:-1=x':y':u'-1 \Rightarrow$ $z=x+iy=\frac{x'+iy'}{1-u'}$

• $|z|^2=z\bar{z}=\frac{(x')^2+(y')^2}{(1-u')^2}=\frac{1-(u')^2}{(1-u')^2}=1+\frac{1+u'}{1-u'}\Rightarrow$ $x'=\frac{z+\bar{z}}{|z|^2+1}, y'=\frac{z-\bar{z}}{i(|z|^2+1)},u'=\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}$

• 综上，在复平面 $\bf C$与 $S-\{N\}$之间建立了一个双射. 我们约定复平面上有一个理想的点，称为无穷远点，其球极射影为 $N$; 无穷远点及 $N$可以看作一个新引进的非正常复数无穷大(即 $\infty$)在平面及球面上的几何表示.

• 集 ${\bf C}\cup \{ \infty \}$称为扩充复数集 ${\bf C}_\infty$

• 复平面 ${\bf C}\cup \{ \infty \}$称为扩充复平面 ${\bf C}_\infty$

• 于是, 在球面 $S$, 扩充复平面 ${\bf C}_\infty$, 扩充复数集 ${\bf C}_\infty$之间分别建立了双射.

• 正常的复数及复平面上的点称为有限复数及有限点. 除特别声明外，只考虑有限复数及复平面.

• 复数 $\infty$：实部, 虚部及辐角的概念无意义; 模约定为 $|\infty|=+\infty$, 对任意有限复数 $z$, $z<+\infty$.

• 为计算需要，引进下列运算的意义：设 $\alpha$为有限复数，那么 $\alpha \pm \infty=\infty \pm \alpha=\infty$ $\alpha \cdot \infty = \infty \cdot \alpha =\infty(\alpha \neq 0)$ $\frac{\alpha}{0}=\infty, \frac{\alpha}{\infty}=0(\alpha \neq 0)$运算 $\infty \pm \infty,0\cdot\infty,\frac{0}{0}$以及 $\frac{\infty}{\infty}$没有意义.