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复数的表示
- 复数:首先,复数基本单位是
i=−1
。
有了这个单位,复数空间中的每个数都可以表示为
a+bi 的形式。其中,
a 被称为实部 real part,
b 被称为虚部 imaginary part。
复数可以在复平面(complex plane)上表示,复平面横纵坐标分别为实部和虚部。
- 事实上,复数是可以用坐标表示的,我们可以在复平面中计算出来。
例如,复数
4+3i 的复平面直角坐标表示是
(x,y)=(4,3),原点指向该点的向量长度
r=42+32
=5,向量的角度
θ=arctan(43)。这里,复数极坐标表示的长度
r 也被称为强度 magnitude,角度
θ 也被称为相位 phase。
有以下关系:
xy=rcosθ=rsinθ
- 复数的复指数表示与欧拉公式
欧拉有一天发现,神奇数字
e 的纯虚数次方竟然在复数平面上绕圈!
用极坐标形式表示,就是
eiθ=cosθ+isinθ。
于是复数的表现形式有:
v∈C1(x,y)v=x+iy=r(cosθ+isinθ)=reiθ=(rcosθ,rsinθ)=(r,θ)
而当
r=1,
θ=π 时,对应的直角坐标刚好就是
(−1,0),也就是实数 -1。由此就有了那个著名的欧拉公式:
eiπ+1=0
复指数信号可以用来表示实数正弦信号:
{eiθ=cosθ+isinθe−iθ=cosθ−isinθ⇒{cosθ=2eiθ+e−iθsinθ=2ieiθ−e−iθ
refs
[1]. https://mengqi92.github.io/2015/10/06/complex/
[2]. https://blog.csdn.net/lanchunhui/article/details/54600285