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1.定义
矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积,即cond(A)=‖A‖·‖A^(-1)‖,对应矩阵的3种范数,相应地可以定义3种条件数。 函数 cond(A,1)、cond(A)或cond(A inf) 是判断矩阵病态与否的一种度量,条件数越大矩阵越病态。
作用:表示了矩阵计算对于误差的敏感性
2.例子
条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b,如果A的条件数大,b的微小改变就能引起解x较大的改变,数值稳定性差。如果A的条件数小,b有微小的改变,x的改变也很微小,数值稳定性好。它也可以表示b不变,而A有微小改变时,x的变化情况。
比如线性方程组
的解是(x,y)=(0.0,0.1),
而
的解是(x,y)=(-0.17,0.22)
可见b很小的扰动就引起了x很大的变化,这就是A矩阵条件数大的表现。
一个极端的例子,当A奇异时,条件数为无穷,这时即使不改变b,x也可以改变。奇异的本质原因在于矩阵有0特征值,x在对应特征向量的方向上运动不改变Ax的值。如果一个特征值比其它特征值在数量级上小很多,x在对应特征向量方向上很大的移动才能产生b微小的变化,这就解释了为什么这个矩阵为什么会有大的条件数。
事实上,正规阵在二范数下的条件数就可以表示成 abs(最大特征值/最小特征值)。
3.例子2
上图中的推导过程还是比较容易理解的,能够推导出这个条件数的公式——图中的相对误差放大因子。
4.常用条件数
其中无穷(最大)范数是指取矩阵中的max值:
5.病态方程的数值例子
之后有给出了一个证明,对于条件数≈1的,基本上A和b的扰动对于解x没有很大的影响,可以忽略,即对于非奇异矩阵。
对于奇异矩阵来说,扰动是非常大的,是病态矩阵。