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一,几何变换法,求傅里叶级数:
- 假设是周期,的函数,求它的傅里叶级数。如图1:
- 第一步,求周期的函数的傅里叶级数。如图2:
- 因为是奇函数,
- 当,;当,
- 因此,前提:
- 第二步,将压缩成,周期改变,变,如图3:
- 的周期,,振幅是的一半:
- 基频率,
- 将替换:,前提:
- 用上一节拓展1的公式验证答案:
- 因为是奇函数,
- 当,;当,
- 因此,前提:
- 第三步,将图3上移1/2变成图1,周期没变,t不变:
- ,前提:
二,二阶非齐次常系数线性ODE的输入项为,求特解:
-
弹簧—质量—阻尼系统
- 如图
- 标准形式:
- 设阻尼系数c=0,弹性常数,表示弹簧振荡的角速度,
- 原方程化为:
- 不考虑奇偶性,的周期,基频率
-
,角速度
-
原方程化为:
-
复习第十四讲 共振 当驱动项或者时:
特解或者
当驱动角速度逼近弹簧角速度时,产生共振
-
叠加原理:
-
第一项:当时,
三,假设输入项为,求特解:
- 是奇函数,周期,,前提:,角速度
- 原方程化为:
- 叠加原理:,前提:
四,分析系数的大小:
- 假设:,
- 已知:,
- 傅里叶系数表示某个角速度的波在合成波中占的比重
- 可以看到响应幅值最大的是角速度
- 结论:当时,近似的共振将会由输入项中的角速度的波产生
- 原理:响应项不会对输入项里所有的波做出响应,它只会选出和它的角速度接近()的波进行响应,其他的波都被淡化了。
- 声音在不同介质中的传递,是通过共振实现的。
五,待定系数法,求特解:
- 假设输入项为
- 假设响应项具有相同的形式:,和为待定系数
- 原方程为:
- 将和代入原方程:
- 将系数和代入响应项: