第十六讲傅里叶级数拓展

一，推论：

一个函数 $f(t)$ 不能有两个不同的傅里叶级数，因为傅里叶系数公式表明 $f(t)$ 对应唯一的 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 。

二，奇偶性（缩减计算）：

如果 $f(t)$ 是偶函数，即 $f(-t)=f(t)$ ，y轴对称，那么 $f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}cos(nt)$ ， $b_{n}sin(nt)=0$ ， $b_{n}=0$

证明： $\because$ $f(-t)=f(t)$
$\therefore$ $\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nt)-b_{n}sin(nt)]=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nt)+b_{n}sin(nt)]$
$\therefore$ $-b_{n}sin(nt)=b_{n}sin(nt)$
$\therefore$ $-b_{n}=b_{n}=0$
如果 $f(t)$ 是偶函数，那么 $f(t)cos(nt)$ 是偶函数， $\int_{0}^{2\pi }f(t)cos(nt)dt=2\int_{0}^{\pi }f(t)cos(nt)dt$
因此， $a_{n}=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{2\pi }f(t)cos(nt)dt=\frac{1}{\pi }\cdot 2\int_{0}^{\pi }f(t)cos(nt)dt$ ， $b_{n}=0$ 因为 $f(t)$ 是偶函数

如果 $f(t)$ 是奇函数，即 $-f(t)=f(t)$ ，原点对称，那么 $f(t)=\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}sin(nt)$ ， $a_{n}cos(nt)=0$ ， $a_{n}=0$

证明：同上
如果 $f(t)$ 是奇函数，那么 $f(t)sin(nt)$ 也是偶函数（奇X奇=偶）， $\int_{0}^{2\pi }f(t)sin(nt)dt=2\int_{0}^{\pi }f(t)sin(nt)dt$
因此， $b_{n}=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{2\pi }f(t)sin(nt)dt=\frac{1}{\pi }\cdot 2\int_{0}^{\pi }f(t)sin(nt)dt$ ， $a_{n}=0$ 因为 $f(t)$ 是奇函数

三，傅里叶级数与泰勒级数的不同之处：

图上 $f(t)$ 是奇函数， $a_{n}=0$
$b_{n}=\frac{1}{\pi }\cdot 2\int_{0}^{\pi }t\cdot sin(nt)dt$
分部积分法：设 $u=t$ ， $v=-\frac{cos(nt)}{n}$ ， ${v}'=sin(nt)$
$b_{n}=\frac{2}{\pi }[(\left. -t\cdot\frac{cos(nt)}{n})\right|^{\pi}_{0}-\int_{0}^{\pi }\frac{-cos(nt)}{n}dt]$
$\because$ $cos(n\pi )=(-1)^{n}$
$\therefore$ $b_{n}=\frac{2}{\pi }[-\pi \cdot\frac{(-1)^{n}}{n}+\left. (\frac{sin(nt)}{n^{2}}) \right |^{\pi }_{0}]=\frac{2}{\pi }[-\pi \cdot\frac{(-1)^{n}}{n}]=2\cdot \frac{(-1)^{n+1}}{n}$
结果： $f(t)=\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}sin(nt)=2\sum_{n=1}^{\infty }[\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot sin(nt)]=2[sin(t)-\frac{1}{2}sin(2t)+\frac{1}{3}sin(3t)-......]$
结果说明：傅里叶级数和泰勒级数不同之处在于，它不是从中心点（部分）开始逐渐趋近函数，而是从整个区间（整体）开始逐渐趋近函数。视频25:30~29:30

四，收敛性：

如果函数 $f(t)$ 在点 $t_{0}$ 附近连续，那么傅里叶级数是收敛的，公式 $f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nt)+b_{n}sin(nt)]$ 成立
如果函数 $f(t)$ 的 $t_{0}$ 点为跳跃间断点，那么傅里叶级数在该点收敛于“跳跃的中点”，如图：
$f(t)=2\sum_{n=1}^{\infty }[\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot sin(nt)]$ ，当 $t=t_{0}$ 时， $f(t)=0$

五，拓展1：

$sin(\theta )$ ， $\theta=nt$ ：弧度=角速度x时间
$sin(nt)$ ， $n=\theta _{0}k$ ：角速度（或用 $\omega$ 表示）=整周弧度x频率（本该用f表示，这里与函数f矛盾，所以用k表示）
$\theta _{0}=\frac{\theta }{z}$ ，整周弧度=弧度/周，周无量纲
$T=\frac{t}{z}$ ：周期=时间/周
$k=\frac{z}{t}$ ：频率=周/时间
$k=\frac{1}{T}$ ：频率=1/周期

如果把周期 $T_{1}= 2\pi$ 的函数 $f(t_{1})$ 变为周期 $T_{2}= 2L$ 的函数 $s(t_{2})$
基频率 $k_{0}=\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{2\pi }{T_{2}}=2\pi k_{2}$ ，基频率 $k_{0}$ 无量纲，跟频率 $k_{2}$ 不同，它只是一个比值
因为 $\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{\frac{t_{1}}{z}}{\frac{t_{2}}{z}}=\frac{t_{1}}{t_{2}}=\frac{2\pi }{T_{2}}$ ，所以 $t_{1}=\frac{2\pi }{T_{2}}\cdot t_{2}=k_{0}t_{2}$
$cos(nt_{1})=cos(nk_{0}t_{2})$ ， $sin(nt_{1})=sin(nk_{0}t_{2})$
$s(t_{2})=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nk_{0}t_{2})+b_{n}sin(nk_{0}t_{2})]$
$a_{n}=\frac{1}{L}\int_{0}^{2L }s(t_{2})cos(nk_{0}t_{2})dt_{2}$ ，n为任意整数
$b_{n}=\frac{1}{L}\int_{0}^{2L }s(t_{2})sin(nk_{0}t_{2})dt_{2}$ ，n为任意整数
如果 $s(t_{2})$ 是偶函数，那么 $s(t_{2})=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}cos(nk_{0}t_{2})$
$a_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}s(t_{2})cos(nk_{0}t_{2})dt_{2}$ ， $b_{n}=0$
如果 $s(t_{2})$ 是奇函数，那么 $s(t_{2})=\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}sin(nk_{0}t_{2})$
$b_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}s(t_{2})sin(nk_{0}t_{2})dt_{2}$ ， $a_{n}=0$