正如卷积是由反褶,时移,调制,相加等基本运算组成的,在后面学习到的圆周卷积中,也是由基本运算组成的,不过这些基本运算不是简单的反褶、时移,而是圆周反褶和圆周时移,那么到底与一般的反褶和时移有什么不同呢?
其实圆周运算是针对周期序列而言的,由于周期序列在每一个周期内的取值都相同,所以我们只关注它的主值区间,比如,如果一个序列的长度为
N的话,那么它的主值区间就是
0≤n≤N−1。
虽然圆周运算是源自于对周期信号的处理,但是经过一般化的扩展之后,对有限长序列也可以进行圆周运算。具体就是,你可以把有限长序列以它的长度为周期,进行周期延拓成一个周期序列,然后进行运算,然后取其主值区间进行观察得到的结果。
圆周反褶
圆周反褶就是一个周期序列进行反褶之后,取其主值区间序列。因为一个周期序列反褶之后还是周期序列,所以这么做是合理的。
假设一周期信号在其主值区间的取值为
x[n]={x[0],x[1],x[2],x[3],x[4]}即该序列的周期为
5,那么反褶后的信号为(只关注主值区间)
y[0]y[1]y[2]y[3]y[4]=x[0]=x[0]=x[−1]=x[5−1]=x[4]=x[−2]=x[5−2]=x[3]=x[−3]=x[5−3]=x[2]=x[−4]=x[5−4]=x[1]
为了方便用数学的语言描述这种运算,首先看一种数学上的模运算运算,首先看几个模运算的例子:
2mod5=26mod5=1−3mod5=2
不知道大家看出来没有,模运算其实就是求余,
2对
5的余数就是
2,
6对于
5的余数是
1,而
−3对
5的余数应该为
(−3+5)mod5=2(加上
5之后不影响余数的大小,因为
5一直能整除
5,
5对
5的余数一直是
0)
我们把
2mod5记作
<2>5,所以我们定义圆周反褶为
y[n]=x[<−n>N]
其中
N为序列
x[n]的长度。
由上面的公式可以看出,与一般的反褶不同的是,序列下标经过了一次模运算。并且经过上面的数学化的定以后,圆周运算就不仅仅只对周期信号有效了,对一般的有限长信号都是有效的。
用计算画图看一下进行圆周反褶后的效果:
而一般的反褶又是什么样子的呢?还是通过计算机画图观察:
看到这里二者发现不仅波形不一样,并且有值区间也不一样,一般反褶的有值区间变为了
−4≤n≤0,而圆周反褶的有值区间是
0≤n≤4。
这个例子给出的就是有限长序列的圆周反褶运算,圆周运算是从周期序列扩展而来的,但不仅仅只针对于周期序列。事实上,后面的处理的圆周运算大部分都是有限长的序列。
圆周时移
由圆周反褶的概念,不难定义出圆周时移,即:
y[n]=x[<n−n0>N]
与圆周反褶类似,
y[n]的有值区间还是与
x[n]相同。
我们来直观的感受一下,圆周时移到底是怎么一个效果:
这完全可以看做是将序列进行周期延拓之后,然后进行时移,取其主值区间进行观察得到的结果。