前言

近期对线段树合并有了更深的了解，所以在这里写一下一些自己的想法

适用问题

线段树合并有一类经典的模板，现在对于一棵有n个叶子节点的树（Tip:对于一棵N个节点的树，其叶子节点数量小于等于 $\lceil \frac N2 \rceil$），每个叶子节点上都有一个值域为m的值在线段树中，一个非叶子节点节点的线段树由所有子节点的线段树合并而成，求相关的信息

代码

inline node*merge(node*x,node*y)//node为线段树节点的结构体名称
{
    if(x==NULL)return y;//NULL说明该指针为空
    if(y==NULL)return x;
    x->lson=merge(x->lson,y->lson);
    x->rson=merge(x->rson,y->rson);
    return x;
}

复杂度

对于整棵树，做完的复杂度为 $O(nlogm+N)$
证明：
由于要遍历整棵树，所以有至少的O(N)的复杂度
对于一个叶子节点，其构树的复杂度为 $O(logm)$。容易发现，两棵线段树合并时，由于如果一棵线段树为空就不做，只有两颗线段树都有值时往下，所以往下dfs的终止节点一定是两棵线段树节点的lca。对于一个节点，做完其子树的线段树合并的复杂度为 $\sum_{i为线段树上两个叶子节点的lca}depth[i]$
（Tip：由于对于两条路径可能会有相交之处，所以这个复杂度是上界，实际上这部分是不满的）
每有一个满足条件的lca，说明有两个值合并在一起了，合并次数为N-1次，而深度是 $O(logm)$的，所以总复杂度为O(nlogm+N)
证毕

例题

「PKUWC2018」Minimax

总结

这是一个很妙的模型，乍一眼复杂度不容易得出，而且比较好写，值得记住