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题意:
给你
,求
和
,
题解:
对于
,这个东西的值其实就是1。。。原因是除了
以外,其他都因为是某个数的平方,所以都含平方因子,于是值都是0。
重点就是求 。我们知道, ,所以 ,也就可以转化成求 。
然后我们考虑用杜教筛来筛这个东西。我们考虑构造
,我们选择
作为
函数,这样我们有
带入杜教筛的式子可得:
,前面的可以用平方求和公式,后面的可以用等差数列+整除分块和递归下去做就好了。
代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int phi[1000010],vis[1000010],p[1000010],cnt;
map<long long,long long> mp;
long long ni,ans,ni2,n,sum[1000010];
const long long mod=1e9+7;
inline long long ksm(long long x,long y)
{
long long res=1;
while(y)
{
if(y&1)
res=res*x%mod;
x=x*x%mod;
y>>=1;
}
return res;
}
inline long long calc(long long x)
{
if(x<=1000000)
return sum[x];
if(mp[x])
return mp[x];
long long r,res=0;
res=x*(x+1)%mod*(2*x+1)%mod*ni%mod;
for(long long l=2;l<=x;l=r+1)
{
r=x/(x/l);
res=(res-1ll*(r-l+1)*(r+l)%mod*ni2%mod*calc(x/l)%mod)%mod;
res=(res+mod)%mod;
}
mp[x]=res;
return res;
}
int main()
{
scanf("%lld",&n);
printf("1\n");
phi[1]=1;
sum[1]=1;
for(int i=2;i<=1000000;++i)
{
if(!vis[i])
{
p[++cnt]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&p[j]*i<=1000000;++j)
{
vis[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0)
{
phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
break;
}
phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
}
sum[i]=(sum[i-1]+(long long)i*phi[i])%mod;
}
ni=ksm(6,mod-2);
ni2=ksm(2,mod-2);
printf("%lld\n",calc(n));
return 0;
}