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解法

杜教筛的模板题

• 首先可以发现， $\sum_{i=1}^n\mu(i^2)$一定等于1，因为除了 $i=1$的时候 $\mu(i^2)=1$，其他时候 $\mu(i^2)=0$。
• 然后考虑怎么求 $\sum_{i=1}^n\varphi(i^2)$，显然可以变成 $\sum_{i=1}^n i\varphi(i)$
• 那么我们可以令 $f(i)=i\varphi(i)$，那么我们只要找到满足 $f*g=h$且 $g$和 $h$的前缀和都比较好求的就可以了。
• 考虑到 $\varphi*1=id$，那么我们令 $g(i)=id$，所以 $(f*g)(i)=\sum_{d|i}d\varphi(d)×\frac{i}{d}=i\sum_{d|i}\varphi(i)=i^2$
• 那么我们就得出了 $g(i)=i,h(i)=i^2$，然后就可以杜教筛了
• 时间复杂度： $O(n^{\frac{2}{3}})$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define Mod 1000000007
#define N 1000010
using namespace std;
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1; char c = getchar();
	while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); x *= f;
}
const int inv = 166666668;
bool f[N]; int t, p[N], phi[N];
map <int, int> s;
void add(int &x, int y) {x += y; if (x >= Mod) x -= Mod;}
void sieve(int n) {
	memset(f, true, sizeof(f)); int len = 0; phi[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (f[i]) p[++len] = i, phi[i] = i - 1;
		for (int j = 1; j <= len && i * p[j] <= n; j++) {
			int k = i * p[j]; f[k] = false;
			if (i % p[j] == 0) {phi[k] = phi[i] * p[j]; break;}
			phi[k] = phi[i] * (p[j] - 1);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) phi[i] = 1ll * phi[i] * i % Mod;
	for (int i = 1; i <= n; i++) add(phi[i], phi[i - 1]);
}
int sum(int n) {
	if (n <= t) return phi[n];
	if (s.count(n)) return s[n];
	int ret = 1ll * n * (n + 1) % Mod * (2ll * n % Mod + 1) % Mod * inv % Mod, x = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i = x + 1) {
		x = n / (n / i); int tot = 1ll * (x + i) * (x - i + 1) / 2 % Mod;
		add(ret, Mod - 1ll * tot * sum(n / i) % Mod);
	}
	return s[n] = ret;
}
int main() {
	int n; read(n); cout << "1\n";
	t = pow(n, 2.0 / 3); sieve(t);
	cout << sum(n) << "\n";
	return 0;
}