树和森林

一、树和森林的定义和性质

1、树的定义

　　树是n个结点的有限集合。
　　树可以为空树，即结点数为零。并且任意一颗非空树有以下特点:
　　1. 有且仅有一个根结点;
　　2. 当树的结点数大于1时，其余结点可分为多个结点的有限集合，这些集合的每一个又是一棵树，因此为根结点的子树。

2、树中的相关术语

　　假如有一棵树如下图所示:

　　祖先结点:从根节点到某个节点的路径上的所有节点都是该结点的祖先结点。比如L结点对应的 从根结点的路径是:A->B->E->L，因此A,B,E都是L的祖先结点。根节点没有祖先结点，它是所有结点的祖先。
　　子孙结点:子孙结点和祖先结点相对应，以某个结点为根结点的子树中的结点都是该结点的子孙结点。对应上面的路径，B,E,L都是A结点的子孙结点，树中所有结点(除根节点)都是根节点的子孙结点。
　　结点的度:树中一个结点的子结点的个数。比如上述树中B的度是2，因为他有E,F两个子结点，A结点的度是3..
　　树的度:树中结点最大度数。上述树的度为3.
　　分支结点:度数大于0的结点。
　　终端结点:又称叶子结点，度为0的结点，上述树的叶子结点为F,G,H,I,J,K,L。
　　结点的层次:从根结点开始数，根结点的层次为1，比如L的层次为4.
　　结点的深度:从根节点开始自顶向下逐层累加的。
　　结点的高度:从叶结点开始自底向上逐层累加的。
　　树的高度:又称深度，是树中结点的最大层数。上述树的高度是4。
　　有序树:树中的结点的子树从左到右是由次序的不能交换。
　　无序树:树中的结点没有次序可以交换。

3、树的性质

• 树中结点数等于所有结点的度数加1;
• 度为m的树第i层上至多m^(i-1)个结点;
• 高度为h的m叉树至多有(m^h-1)/(m-1)个结点;
• 具有n个结点的m叉树的最小高度为(取上限(log_m(n(m-1)+1)))。

4、森林的定义

　　森林:森林是m(m>=0)棵互不相交的树的集合。

二、树的存储结构

　　树的存储结构包括双亲表示法，孩子表示法，孩子兄弟表示法。

1、双亲表示法

　　双亲表示法:采用一维连续线性表存储，为每个结点增设一个伪指针，也就是数组中的下标指示其双亲在数组中的位置。

　　比如下图中根结点的下标为0，其伪指针为-1。

　　双亲表示法的存储结构描述:

    typedef int ElemType;
    #define MAX_SIZE 100
    typedef struct
    {
        ElemType data;                      //数据
        int parent;                         //祖先指针
    }PTNode;
    typedef struct
    {
        PTNode nodes[MAX_SIZE];
        int n;                              //结点数目
    }PTree;

2、孩子表示法

　　孩子表示法:每个结点的孩子结点都用链表链接起来组成一个线性结构

　　孩子表示法的结构定义:

    #define MAX_SIZE 100
    typedef int ElemType;
    typedef struct PNode
    {   
        int son;                    //孩子结点的下标
        struct PNode* next;         //下一个孩子结点
    }PNode;

    typedef struct TNode
    {
        ElemType data;
        PNode* child;               //孩子结点的指针
    }PTree[MAX_SIZE];

3、孩子兄弟表示法

　　孩子兄弟表示法:又称二叉树表示法，孩子兄弟表示法有三部分内容:结点数据，指向第一个孩子的指针和指向下一个兄弟的指针。

　　孩子兄弟表示法的结构定义:

    typedef int ElemType;
    typedef struct CNode
    {
        ElemType data;
        struct CNode* firstChild, *nextChild;
    }CNode,* CTree;

三、树的相关操作

1、树、森林和二叉树的转换

　　树转换为二叉树的规则是:每个节点左指针指向它的第一个孩子结点，右指针指向它的相邻的兄弟结点，故表示为“左孩子右兄弟”。

　　森林转化为二叉树的规则和树转换为二叉树的规则相似:先将森林中的每一棵树转化为二叉树，再将第一棵树作为转化后的二叉树的根，第一棵树的坐姿树作为转化后的二叉树的左子树，第二课二叉树作为二叉树的右子树，第三棵二叉树作为转化后的二叉树的根的右子树的右子树。

　　从根节点开始，若右孩子存在，则把与右孩子结点的连线删除。再查看分离后的二叉树，若其根节点的右孩子存在，则连线删除…。直到所有这些根节点与右孩子的连线都删除为止。将每棵分离后的二叉树转换为树。

2、遍历

　　树的遍历分为先根遍历和后根遍历。

　　先根遍历:若树非空，则先访问根结点，再从左到右顺序遍历根结点的每一棵子树。

　　后根遍历：若树非空，则先从左到右顺序遍历根结点的每一棵子树，再访问根结点。

　　森林的遍历分为先序遍历和中序遍历。

　　先序遍历:若森林为非空，则先序遍历第一棵树，在先序遍历剩下的树构成的森林。

　　中序遍历:若森林为非空，则中序遍历第一棵树的根节点的子树森林，再访问第一棵树的根结点，再中序遍历除去第一棵树剩余的树构成的森林。