图像处理(Image Processing) ---------- 直方图均衡化 (Equalization)(C#实现)

说到直方图均衡化，首先提一提概率论的知识。

概率论：

离散型随机变量：能用日常使用的量词度量的随机变量。
- 概率函数：形如 P(x = 1) = 1/6;
- 概率分布：
  
  $X_{i}$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{3}$ $x_{4}$ $x_{5}$ $x_{6}$
  
  $P_{i}$ $p_{1}$ $p_{2 }$ $p_{3}$ $p_{4}$ $p_{5}$ $p_{6 }$
- 概率分布函数： $F(x) = P(X\leq x) = \sum_{x_{k}\leqslant x} P_{k}$ .
连续型随机变量：不能用日常量词度量，无限、无穷。
- 概率密度函数： $P(a< x\leqslant b) = \int_{b}^{a}f(x) dx = F(b)-F(a)$ ，面积即事件在此区间发生的概率。
- $\int_{-\infty }^{+\infty} f(x) dx =1$ . 总面积为1，因为总概率为1.
- 分布函数的导数即概率密度函数。

Equalization：

希望将图像灰度分布均匀。

输入图像灰度级 r ,输出图像灰度级S, 转换公式：

S = T(r) ---> 每个Pixel经过 T(r)变换倒新Pixel灰度级。
对T(r)两个要求：（a）在区间 [0，L-1] 上单增。（b）当0 $\leqslant$ r $\leqslant$ L-1 时， 0 $\leqslant$ T(r) $\leqslant$ L-1 。
牛逼公式： $S = T(r) = (L-1){\int_{0}^{r} P_{r}(x) dx$ . ，即原图的概率密度函数*原图pixel的深度。

为什么 r 的分布函数就是符合要求的转换函数？

r 的概率密度为P(r)，则 s 的概率密度为： $P(s) = P(r)\frac{dr}{ds}$ . 又对公式： $S = T(r) = (L-1){\int_{0}^{r} P_{r}(x) dx$ 对 r 求导。

$\frac{ds}{dr} = (L-1)P(r)$ , $\therefore$ P(s) = L-1 . 即S的概率密度为定值，则S的分布函数就为一条斜率固定的直线。

S的概率密度为定值，则S的分布函数为一条斜率固定的直线，表明所有Pixel出现的概率都一样，所以累加概率会均匀上升。

实际情况中，进过均衡化的图片不会真的均衡，只会近似均衡：

实际的直方图均衡化，我们要将牛逼公式离散化即： $S_{k} = T(r_{k}) = (L-1)\sum_{j=0}^{k}p_{j}(r_{k})$ , 就是从0到要均衡化的灰度级的累积概率*深度。

C#实现：

//获得灰阶图片各灰度级的概率，返回数组。
public double[] getGrayHistogram(Bitmap grayImage)
        {
            double[] numb = new double[256];
            for (int i = 0; i < grayImage.Height; i++)
            {
                for (int j = 0; j < grayImage.Width; j++)
                {
                    Color pixelRGB = grayImage.GetPixel(j, i);
                    if (pixelRGB.R == pixelRGB.G && pixelRGB.R == pixelRGB.B)
                    {
                        int grayNumb = pixelRGB.R;
                        numb[grayNumb]++;
                    }
                }
            }
            for (int k = 0; k < 256; k++)
            {
                double value = numb[k];
                double rate = value / (grayImage.Height * grayImage.Width * 1.0);
                numb[k] = rate;
            }
            return numb;
        }

//灰阶直方图均衡化
//传入需均衡化的灰阶图片grayImage和灰阶图片各灰度级的概率数组。
        public Bitmap Equalization(Bitmap grayImage , double[] density)
        {
            for (int j = 0; j < grayImage.Height; j++)
            {
                for (int i = 0; i < grayImage.Width; i++)
                {
                    double densitySum = 0;
                    Color value = grayImage.GetPixel(i, j);
                    for (int k = 0; k <= value.R; k++)
                    {    //累积概率
                        densitySum += density[k];
                    }
                    byte s = (byte)Math.Round(255 * densitySum);
                    Color newValue = Color.FromArgb(s, s, s);
                    grayImage.SetPixel(i, j, newValue);
                }
            }
            return grayImage;
        }

仅为个人理解，如有不足，请指教。 https://blog.csdn.net/weixin_35811044

$X_{i}$	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$x_{4}$	$x_{5}$	$x_{6}$
$P_{i}$	$p_{1}$	$p_{2 }$	$p_{3}$	$p_{4}$	$p_{5}$	$p_{6 }$

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概率论：

Equalization：

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