本节目标
(1)学习导数,即认识导数是什么,但是会在学习过程中引起一些思维上的矛盾之处,所以引入第二个目标(2)避免矛盾,即认识这些矛盾是什么,怎么解决
导数的含义
1.矛盾的瞬时变化率叫法
这个词本身就是矛盾的,瞬时指一个时间点,而变化率是俩时间点,相互矛盾。
数学家这才想到导数这个词来描述 他们想描述的导数
2.开始讨论导数
以一辆车开始,考虑一辆车花10秒从起点开到终点
画出小车的路程曲线s(t)和速度曲线v(t), 注意速度曲线是度量出来,不是由路程曲线算出的,我们现在会奇怪这两条线有啥关系?直觉告诉我们瞬时速度越大,路程曲线越陡峭
但是讲瞬时速度没有什么意义,给你一张车的瞬时照片,你也看不出瞬时速度多少
而给你车在两个时间点的路程,你就能算出来瞬时速度,这样你就得到了速度的本体
回到速度和路程函数,我们想知道一个时间点的速度值,但是需要两个时间点的路程值才能算出来。开讲人说这个点当前微积分创始人感觉很矛盾,我不感觉。
这就是想描述一个物理现象不能直接就得到,必须通过间接手段,如果啥都那么直接,那这个社会太简单了
3.进一步理解变化率
车速表怎么显示速度呢?
其实是通过计算一小段时间的路程变化才计算的,而路程可以用编码器算轮胎打转了多少,而时间就是表了,所以编码器或表坏都会让车速计坏了
所以现实是不会直接计算一个瞬时速度(1个时间点),而是计算速度(需要俩时间点)。。速度和瞬时速度是物理上的概念,速度是不精确的,如果时间差无限小,那么就是瞬时速度了。
下图引入ds/dt来表示速度,指一小段距离差除以一小段时间差
在坐标轴上就是如下图所示
ds/dt随时间变化,所以是一个时间函数。而电脑画v(t)函数就是根据极短时间的ds/dt算出来的,能非常精确的刻画真实的速度,这就是用数学来近似真实的世界啊
zh
4.正式面对导数
纯数学上,dt并不是一个确定值,比如0.1,导数是dt趋近于0的比值
从图上来看,dt越大时,ds/dt是图上两点直线构成的斜率
随着dt越来越小,ds/dt趋近于切线的斜率,这才是纯数学上的导数。dt不是无穷小,也不是0,是接近0的有限小量。这样想导数不是绝对瞬时,别把它看成某一点的瞬时变化率,而是当成某一点附近的变化率。
5.再强调一下dt和ds
这俩都是有实际大小的,没大小怎么除
这里就把这俩当成数进行除,然后得到值了,再把dt趋近于0,忽略后两项
更通用的是把2当成t,求得任一点的导数
算导数就是先除,然后再把它趋近于0
6.不存在瞬时变化率,导数不是描述瞬时的
车在0时刻的瞬时速度为0,但是车动了吗?看不出来他有没有动的趋势啊
所以导数是描述这段时间的平均速度的,即在0秒附近的运动,而不是绝对的瞬时
导数=0不能说明速度就是0,只是说明瞬时速度趋近于0,只是近似为0
所以下次听到 "导数是瞬时变化率" 这一矛盾的说法,就当成是变化率的近似就行,不用吹毛求呲
感悟
导数是描述dt时间的变化率,是一段时间的近似,而不是一个时刻。一般人讲瞬时,自然就把它当成非常短时间的近似,而不是真的时刻。
在这章的导数描述的是路程随时间的变化率。
开奖人在讲的过程中把瞬时当成绝对的瞬时,在最后才劝我们怎么理解别人口中的瞬时。而我潜意识是把瞬时一会当绝对,一会自然当成近似。