所谓最大真因数,就是不包括他自己的最大因子。显然质数的最大真因子为1,而合数的最大真因子是他本身除以最小质因子。
而本题要求求所有的合数的最大真因子之和。然后数据范围是5e9,一眼看上去就是一个Min_25筛嘛,求出前缀和s,然后减去质数部分和g即可。然后啪啪啪把板子敲上去,然后跑了跑样例发现根本过不了……然后开始怀疑人生,后来仔细一想,原来最大真因子这个东西,他不满足积性,也就不能用Min_25筛直接去求它的和,也就无法用总共的去减去质数部分得到合数部分的和了。
但是,真的不能够用到Min_25筛了吗?我们注意到,合数的最大真因子是他本身除以他的最小质因子。最小质因子这个东西好像在哪里听过,没错就是在讲Min_25筛的基本原理的时候,其本质就是用小的质数,一步步把它的倍数给筛掉。每次递推转移的时候,把最小质因子为特定质数的数字给筛掉,然后递推的公式如下:
这里我们要利用这个公式,当然了F不能是指最大真因子的函数,我们说过了他没有就积性。事实上,这里的F是原函数,也即F(x)=x。因为我们的目的其实是要求质数的和,根据合数的最大真因子与其最小质因子有关。更具体的原因的话,后面自然就会理解的。
如果按照我们现在的定义,注意上面等式的右半部分。我们知道原函数是有积性的,所以根据Min_25筛的原理,按顺序要把所有最小质因子是某一特定质数的数字筛掉。那么减去的部分就是这些数字的和,而这个和除以相应的质数,这个结果不就是我们要的最小真因子的和吗。这样子相当于在筛的时候,我真正在求的并不是质数的和,而是最小真因子的和,巧妙的利用了原函数的积性。
所以总的来说,这题就是利用Min_25筛的思想,比较间接的求了合数的最大真因子。从这里我们可以发现,理解一个方法的基本原理还是很重要的。具体见代码:
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define pi 3.141592653589793
#define LL unsigned long long
#define mod 998244353
#define pb push_back
#define lb lower_bound
#define ub upper_bound
#define sf(x) scanf("%llu",&x)
#define sc(x,y,z) scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z)
using namespace std;
const int N = 1000010;
LL g[N],s[N],h[N],p[N],w[N],id[N],sz,block;
bool isp[N];
inlvoid init(int n)
{
sz=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
s[i]=s[i-1];
if(!isp[i])p[++sz]=i,s[i]+=i;
for(int j=1;j<=sz&&p[j]*i<n;j++)
{
isp[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0) break;
}
}
}
inline void sieve_g(LL n)
{
int M=0;
for(LL i=1,last;i<=n;i=last+1)
{
LL len=n/i; last=n/len;
w[++M]=len; h[M]=0;
if (len&1) g[M]=(len+1)/2*len-1;
else g[M]=len/2*(len+1)-1;
if(len<=block) id[len]=M;
}
for(int i=1;i<=sz&&p[i]<=n;i++)
for(int j=1;j<=M&&p[i]*p[i]<=w[j];j++)
{
int op=w[j]/p[i]<=block?id[w[j]/p[i]]:n/(w[j]/p[i]);
h[j]+=g[op]-s[p[i]-1];
g[j]-=p[i]*(g[op]-s[p[i]-1]);
}
}
int main()
{
init(1e6);
LL n,m; sf(n); sf(m);
n--; LL ans1,ans2;
if (n)
{
block=sqrt(n)+1;
sieve_g(n); ans1=h[1];
} else ans1=0;
block=sqrt(m)+1;
sieve_g(m); ans2=h[1];
printf("%llu\n",ans2-ans1);
return 0;
}