参考博客，作者：xuzengqiang，来源：CSDN
首先了解一个东西：偏序关系。
偏序关系具体定义和分类
非严格偏序，自反偏序
【这个≤表示的是偏序关系，不是小于等于】
给定非空集合S，“≤”是S上的二元关系，若“≤”满足：
-
自反性：∀a∈S，有a≤a；
-
反对称性：∀a，b∈S，a≤b且b≤a，则a=b；
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传递性：∀a，b，c∈S，a≤b且b≤c，则a≤c；
则称“≤”是S上的非严格偏序或自反偏序。
严格偏序，反自反偏序
给定集合S，“<”是S上的二元关系，若“<”满足：
-
反自反性：∀a∈S，有a≮a；
-
非对称性：∀a，b∈S，a<b ⇒ b≮a；
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传递性：∀a，b，c∈S，a<b且b<c，则a<c；
则称“<”是S上的严格偏序或反自反偏序。
比方说：(A,≤)是偏序集，A={1,2,3},【偏序≤】表示在A上的【大于等于关系】。则有：≤={<3,3>,<3,2>,<3,1>,<2,2>,<2,1>,<1,1>},则有3≤2,2≤2,2≤1....
严格偏序与有向无环图（dag）有直接的对应关系。一个集合上的严格偏序的关系图就是一个有向无环图。其传递闭包是它自己 。——【来自百度百科】
偏序关系举例说明
举如下例子说明偏序关系：
1、实数集上的小于关系是一个严格偏序。
2、设S是集合，P（S）是S的所有子集构成的集合，定义P（S）中两个元素A≤B当且仅当A是B的子集，即A包含于B，则P（S）在这个关系下成为偏序集。
3、设N是正整数集，定义m≤n当且仅当m能整除n，不难验证这是一个自反偏序——
【在正整数集中，任意的整数a，都满足a|a。】
【若a|b，b|a，则a=b】
【若a|b，b|c，则a|c】
这个整除关系满足这三条性质，它就是一个自反偏序。
例：(A,≤)是偏序集，其中A={1,2,3,4,5}，其中≤是整除关系，那么对任意的x∈p都有1≤x,所以1和1,2,3,4,5都是可比的，但是2不能整除3，且3不能整除2，所以2和3是不可比的。
极小元
偏序集中没有与它可比较的更小的元素。设<A，R>是偏序集， 
，若不存在 
，使得 xRb 且 x≠b【R是偏序关系】，则b称为<B，R>的极小元。对给定的<B，R>可以有一个或多个极小元，也可以没有极小元。
链与反链
一个反链A是X的一个子集，它的任意两个元素都不能进行比较。
一个链C是X的一个子集，它的任意两个元素都可比。
举个李子吧。
比如说一个上升序列，它的偏序关系就是：对于两个数a[i],a[j]，满足i<j且a[i]<a[j]。
比如这个序列：10,2,5,7,6,3,8，它有很多的子集。【下标从1到7】
随便取一个它的子集，比如{2,5,7,6}，对于其中两个元素7和6，因为7对应a[4]，6对应a[5]，它们的下标4<5，但是对应的值7>6，所以不能比较。而2和5又可以比较，因为满足a[2]≤a[3]。那么{2,5,7,6}这个集合既不是链也不是反链。
再随便取一个子集，比如{2,7,8}，这个集合中任意两个元素都可比，那么这个集合就是一个链。
再看这个子集，{10,7,3}，这个集合中任意两个元素都不可比，那么它就是一个反链。
定理
【最小链覆盖数 = 最长反链长度】
【最长链长度 = 最小反链覆盖数】
下面是两个重要定理：
定理1 令（X,≤）是一个有限偏序集，并令r是其最大链的大小。则X至少被划分成r个反链。
其对偶定理称为Dilworth定理：
定理2 令（X,≤）是一个有限偏序集，并令m是反链的最大的大小。则X至少被划分成m个链。
证明
定理1证明：设p为最少反链个数
(1)先证明X不能划分成小于r个反链。 由于r是最大链C的大小，C中任两个元素都可比，因此C中任两个元素都不能属于同一反链。就是C中的元素都在不同的反链中。所以p>=r。
(2)设X1＝X，A1是X1中的极小元的集合。那么A1就是一个反链。【因为如果A1中有两个元素a，b，它们可比较，则必有一个比另一个小，但是A1是极小元集合，矛盾。】从X1中删除A1得到X2。注意到对于X2中任意元素a2，必存在X1中的元素a1，使得a1<=a2。【如果X1中不存在a1使得a1<=a2，那么根据极小元定义，a2就会被算进极小元集合A1里】令A2是X2中极小元的集合，从X2中删除A2得到X3……最终，会有一个Xk非空而X(k+1)为空。于是A1,A2,...,Ak就是X的反链的划分，同时存在链a1<=a2<=...<=ak，其中ai在Ai内。由于r是最长链大小，因此r>=k。由于X被划分成了k个反链，因此r>=k>=p。因此r=p，定理1得证。
序列的划分
如果我们把一个序列的偏序关系定义为：i<j且a[i]>=a[j]那么它的最大链就是它的一个最长不上升序列【令其长度为len】，而它对应的反链就是上升序列。根据Dilworth定理，那么这个序列至少被划分成len个上升序列。
简单总结一下，就是：
一个序列的上升序列的最少个数等于最长不上升子序列的长度。
一个序列的下降序列的最少个数等于最长不下降子序列的长度。
END
很多地方都在口胡，希望有大佬【@G21GLF】指出错误之处。