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Burst Balloons
Given
n
balloons, indexed from
0
to
n-1
. Each balloon is painted with a number on it represented by array
nums
. You are asked to burst all the balloons. If the you burst balloon
i you will get nums[left] * nums[i] * nums[right]
coins. Here
left
and
right
are adjacent indices of
i
. After the burst, the
left
and
right
then becomes adjacent.
Find the maximum coins you can collect by bursting the balloons wisely.
Note:
-
You may imagine nums[-1] = nums[n] = 1 . They are not real therefore you can not burst them.
-
0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100
Example:
Input:
[3,1,5,8]
Output:
167
Explanation:
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167
/*
问题：打气球游戏
方法：动态规划
dp[i][j]表示打爆区间[i,j]中的所有气球能得到的最多金币
dp[i][j] = max(dp[i][j], nums[i - 1]*nums[k]*nums[j + 1] + dp[i][k - 1] + dp[k + 1][j])
，
i
≤
k
≤
j
遍历区间，
遍历气球,在
区间[i,j]中k气球最后打爆的情况，使最后能得到最多金币
我们其实只是更新了
dp
数组的右上三角区域，我们最终要返回的值存在
dp[1][n]
中，其中
n
是两端添加
1
之前数组
nums
的个数
例：
[3, 1, 5, 8]，得到的dp数组如下：
0 0 0 0 0 0
0 3 30 159 167 0
0 0 15 135 159 0
0 0 0 40 48 0
0 0 0 0 40 0
0 0 0 0 0 0
*/
class
Solution
{
public
:
int
maxCoins
(
vector
<
int
>&
nums
)
{
if
(
nums
.
empty
())
return
0
;
int
n
=
nums
.
size
();
nums
.
insert
(
nums
.
begin
(),
1
);
//
首部填充
0
nums
.
push_back
(
1
);
//
尾部填充
0，首尾填充后，原nums中数的索引区间为[1,n]
vector
<
vector
<
int
>>
dp
(
n
+
2
,
vector
<
int
>(
n
+
2
));
//
构建
dp
数组
for
(
int
len
=
1
;
len
<=
n
;
len
++)
//
区间长度（先算小区间，再算大区间，从小问题算到大问题）
{
for
(
int
left
=
1
;
left
<=
n
-
len
+
1
;
left
++)
//
左端点坐标
,left =1~
{
int
right
=
left
+
len
-
1
;
//
右端点坐标
,right = len~n （在[1,n]范围left和right构成滑动窗）
for
(
int
k
=
left
;
k
<=
right
;
k
++)
//
打爆的气球位置
, k = left~right
{
dp[left][right] = max(dp[left][right],
nums[left-1]*nums[k]*nums[right+1] + dp[left][k-1] + dp[k+1][right]);
//
后面一项表示
[left, right]
区间中
，k气球最后打爆的情况，故最后需要加上nums[left-1]*nums[k]*nums[right+1]项
}
}
}
return
dp
[
1
][
n
];
//dp[1][n]与 nums[0]和nums[n+1]关联，[1,n]区间对应原数组区间的数
}
};