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14 剪绳子
题目：给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段
(m和n都是整数，n>1并且m>1)
每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m].请问k[0]*k[1]*...*k[m-1]可能的最大乘积是多少？
例如，当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段，此时得到的最大乘积是18.
思路：首先定义函数f(n)为把长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值。在剪第一刀时，我们有n-1种选择，也就是说第一段绳子的可能长度分别为1,2,3.....，n-1。因此f(n)=max(f(i)*f(n-i))，其中i = 1,2,3...n/2。
这是一个自上而下的递归公式。由于递归会有大量的不必要的重复计算。一个更好的办法是按照从下而上的顺序计算，也就是说我们先得到f(2),f(3)，再得到f(4),f(5)，直到得到f(n)。
当绳子的长度为2的时候，只能剪成长度为1的两段，所以f(2) = 1，当n = 3时，容易得出f(3) = 2;
//动态规划：从上往下分析问题，从下往上解决问题
#include <stdio.h>
#include<math.h>
// ====================动态规划====================
int
maxProductAfterCutting_solution1
(
int
len
)
{
if
(
len
<
2
)
//长度为1时直接返回0
return
0
;
if
(
len
==
2
)
//题目已经要求必须剪断，m>1，故长度为2时，最大乘积为1，长度为3时，最大乘积为2
return
1
;
if
(
len
==
3
)
return
2
;
vector<int> A(len+1); //多开辟一个空间，最后一个用来存储最大值
A
[
0
]
=
0
;
/
/当n<=3时，A[n]存储的是绳子的长度，方便之后式子迭代
A
[
1
]
=
1
;
A
[
2
]
=
2
;
A
[
3
]
=
3
;
for
(
int
i
=
4
;
i
<=
len
;
i++
)
for
(
int
j
=
1
;
j
<=
i
/
2
;
j++
)
//i=4~len, j= 1~i/2
{
A[i] = max(A[i], A[j]*A[i-j]);
//前一项用来不断更新A[i],并不是代表不剪（如果想加入不剪断的情况，可以与i比较）
}
return A[len]
;
}
//需要证明局部最优可以得到全局最优，如果不能确切的证明就不要用贪婪法
// ====================贪婪算法====================
int
maxProductAfterCutting_solution2
(
long
int
length
)
{
if
(
length
<
2
)
return
0
;
if
(
length
==
2
)
return
1
;
if
(
length
==
3
)
return
2
;
// 尽可能多地减去长度为3的绳子段
int
timesOf3
=
length
/
3
;
// 当绳子最后剩下的长度为4的时候，不能再剪去长度为3的绳子段。
// 此时更好的方法是把绳子剪成长度为2的两段，因为2*2 > 3*1。
if
(
length
-
timesOf3
*
3
==
1
)
timesOf3
-=
1
;
int
timesOf2
=
(
length
-
timesOf3
*
3
)
/
2
;
return
(
long
int
)
(
pow
(
3
,
timesOf3
))
*
(
long
int
)
(
pow
(
2
,
timesOf2
));
}