二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法
这篇文章讲无权二分图(unweighted bipartite graph)的最大匹配(maximum matching)和完美匹配(perfect matching),以及用于求解匹配的匈牙利算法(Hungarian Algorithm);不讲带权二分图的最佳匹配。
二分图:简单来说,如果图中点可以被分为两组,并且使得所有边都跨越组的边界,则这就是一个二分图。准确地说:把一个图的顶点划分为两个不相交集 和 ,使得每一条边都分别连接 、 中的顶点。如果存在这样的划分,则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是:不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰,我们以后都把它画成图 2 的形式。
匹配:在图论中,一个「匹配」(matching)是一个边的集合,其中任意两条边都没有公共顶点。例如,图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边,它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点,其他顶点为未匹配点;1-5、4-7为匹配边,其他边为非匹配边。
最大匹配:一个图所有匹配中,所含匹配边数最多的匹配,称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配,它包含 4 条匹配边。
完美匹配:如果一个图的某个匹配中,所有的顶点都是匹配点,那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然,完美匹配一定是最大匹配(完美匹配的任何一个点都已经匹配,添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突)。但并非每个图都存在完美匹配。
举例来说:如下图所示,如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边,就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对,使得每对儿都互相喜欢呢?图论中,这就是完美匹配问题。如果换一个说法:最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿?这就是最大匹配问题。
基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法,下面讲的概念都为这个算法服务。
交替路:从一个未匹配点出发,依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边...形成的路径叫交替路。
增广路:从一个未匹配点出发,走交替路,如果途径另一个未匹配点(出发的点不算),则这条交替路称为增广路(agumenting path)。例如,图 5 中的一条增广路如图 6 所示(图中的匹配点均用红色标出):
增广路有一个重要特点:非匹配边比匹配边多一条。因此,研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边,所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后,图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时,达到最大匹配(这是增广路定理)。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前,先讲一下匈牙利树。
匈牙利树一般由 BFS 构造(类似于 BFS 树)。从一个未匹配点出发运行 BFS(唯一的限制是,必须走交替路),直到不能再扩展为止。例如,由图 7,可以得到如图 8 的一棵 BFS 树:
这棵树存在一个叶子节点为非匹配点(7 号),但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点,因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点,那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示(顺便说一句,图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路,沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配)。
下面给出匈牙利算法的 DFS 和 BFS 版本的代码:
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|
// 顶点、边的编号均从 0 开始
// 邻接表储存
struct
Edge
{
int
from
;
int
to
;
int
weight
;
Edge
(
int
f
,
int
t
,
int
w
)
:
from
(
f
)
,
to
(
t
)
,
weight
(
w
)
{
}
}
;
vector
<
int
>
G
[
__maxNodes
]
;
/* G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 */
vector
<
Edge
>
edges
;
typedef
vector
<
int
>
::
iterator
iterator_t
;
int
num_nodes
;
int
num_left
;
int
num_right
;
int
num_edges
;
|
1
2
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27
28
29
30
31
32
33
|
int
matching
[
__maxNodes
]
;
/* 存储求解结果 */
int
check
[
__maxNodes
]
;
bool
dfs
(
int
u
)
{
for
(
iterator_t
i
=
G
[
u
]
.
begin
(
)
;
i
!=
G
[
u
]
.
end
(
)
;
++
i
)
{
// 对 u 的每个邻接点
int
v
=
edges
[
*
i
]
.
to
;
if
(
!
check
[
v
]
)
{
// 要求不在交替路中
check
[
v
]
=
true
;
// 放入交替路
if
(
matching
[
v
]
==
-
1
||
dfs
(
matching
[
v
]
)
)
{
// 如果是未盖点,说明交替路为增广路,则交换路径,并返回成功
matching
[
v
]
=
u
;
matching
[
u
]
=
v
;
return
true
;
}
}
|