前言

由于我昨天在旅游，没能及时更新博客，在这里想大家致歉。

题目描述

有 $n$个正整数 $X_1,X_2\dots X_n$，每个数字有一个状态，选中或者未选中，一开始所有的数都没有选中。

有 $m$个操作，每个操作给定一个编号 $i$，将 $X_i$的选取状态取反。

每次操作后，计算选取的数中有多少个互质的无序数对。

数据范围

20%的数据， $n\le1000$， $m\le1000$

另外30%的数据， $X_i\le100$

100%的数据， $n\le200000$， $m\le200000$， $X_i\le500000$， $1\le i\le n$

题解

莫比乌斯反演。

设 $f(i)$为 $\gcd=i$的数对， $g(i)$为 $\gcd$是 $i$倍数的数对， $h(i)$为是 $i$倍数的个数，

则 $g(i)=\frac{h(i)(h(i)-1)}2$（显然只有两个数都是 $i$的倍数，它们的 $\gcd$才是 $i$的倍数）

而且 $g(i)=\sum_{i\mid d}f(d)$

由第二类莫比乌斯反演得 $f(i)=\sum_{i\mid d}\mu(\frac di)g(d)​$

所以 $f(1)=\sum_i\mu(i)g(i)$

所以每次修改时用 $\sqrt X$的复杂度修改 $X$约数的 $h$值，然后修改相关的 $g$并修改 $f(1)$即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=500005;
#define ll long long
int n,m,x[N],y[N],a[N],u[N],p[N],tot,v[N];
ll ans;
void doo(int o,int p){
    if(p)ans+=u[o]*(a[o]++);
    else ans-=u[o]*(--a[o]);
}
int main(){
    u[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!v[i])p[++tot]=i,u[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<N;j++){
            v[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)break;u[i*p[j]]=-u[i];
        }
    }
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&x[i]);
    while(m--){
        int o,opt=1;scanf("%d",&o);
        if(y[o])opt=0;y[o]^=1;
        int s=sqrt(x[o]);
        for(int i=1;i<=s;i++)if(x[o]%i==0){doo(i,opt);if(i!=x[o]/i)doo(x[o]/i,opt);}
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}