莫比乌斯反演(一)
前言
终于要学莫比乌斯反演啦,封存了半年数论,为了一个星期后的南昌,不得不扩充更广的知识面。遗憾的是,打完南昌可能就要退役了。
虽然打完南昌一站可能退役了,但是也不能放弃算法的学习。
(2019-05-26 留)
整除分块
在莫比乌斯反演一类问题中,结果经常会出现形如
∑i=1n⌊in⌋。
如果
n 的范围巨大,暴力
O(n) 的方法可能会超时。而整除分块是
O(n
) 的方法。
现在我们要解决一个这样的问题:
i=1∑n⌊in⌋(n≤1012)
解释
参考博客:点击此链接看证明
首先我们可以想到的是
∑i=1n⌊in⌋ 里面,有很多项是重复的。例如在
n=10 的情况下,
1 至
10 项分别是
10,5,3,2,2,1,1,1,1,1 。而整除分块的任务就是
∑i=110⌊i10⌋=10×1+5×1+3×1+2×2+1×5。
∑i=1n⌊in⌋ 的性质:
- 不同的项最多只有
2n
项。
- 与
⌊in⌋ 相等的最大的
i′ 为
⌊⌊in⌋n⌋。
代码
for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
r = n / (n / l);
ans += (r - l + 1) * (n / l);
}