题目简述：给定长度为$n \leq 5\times 10^4$的序列$a_1, a_2, \dots, a_n \leq 10^5$。将$\gcd(a_l, a_{l+1}, \dots, a_r) (1 \leq l \leq r \leq n) $从小到大排序后得到长度为$n(n+1)/2$的序列$b$。将$b_l+b_{l+1}+\dots+b_r (1 \leq l \leq r \leq n(n+1)/2)$从小到大排序后得到序列$c$。求$c$的中位数。
注：若$c$的下标从$1$开始，则$c$的中位数定义为其第$\lfloor (k+1)/2 \rfloor$个元素。
解：
这题可分成明显的几个步骤。
Step 1：统计不同的$\gcd$
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固定$i$，令$g(j) = \gcd\{a_i, a_{i+1}, \dots, a_j\} (1 \leq i \leq j \leq n)$，则$g(j) | a_i$且$g(j)$单调递减，从而不相同的$g(j)$的个数$= O(\log a_i)$。于是序列$b$中互不相同的元素个数只有$O(n \log V)$，其中$V = \max_i \{a_i\}$为序列$a$的最大值。
根据$g(j)$的单调性，可以通过二分法依次求出所有不同的$g(j)$及其个数。
为了能在二分时对任意$1 \leq l \leq r \leq n$，快速计算出$\gcd(a_l, a_{l+1}, \dots, a_r)$，我们需要用倍增思想预处理出$d[i][k] = \gcd (a_i, a_{i+1}, \dots, a_{i+2^k-1})$，其递推式为
$$ d[i][k] = \gcd(d[i][k-1], d[i+2^{k-1}][k-1]). $$
预处理$d[i][k]$时间复杂度为$O(n \log n \log V)$。对某个$i$，统计出所有不同的$g(j)$及其个数，需要至多使用二分法$O(\log V)$次，二分法需要二分$O(\log n)$步，每步需要计算$\gcd$的复杂度为$O(\log V)$，故总时间复杂度为$O(n \log n \log^2 V)$。
Step 2：二分$c$的中位数
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使用二分法求$c$的中位数$m$，于是问题转化为统计$c$中$\geq x$的数的个数$t$。由于$c$中元素个数为$N(N+1)/2$，其中$N = n(n+1)/2$，若$t \geq \lfloor (N+1)/2 \rfloor$，则说明$x \geq m$，否则$x < m$。
记$b[v]$表示$v$在$b$中出现的次数。