1,最大公约数
我们求 a 和 b的最大公约数(最大的因数),一般使用gcd(a,b)来表示a 和 b 的最大公约数,而求解最大公约数常用欧几里得算法来求,(辗转相除法)。
我们先来推演一下过程
设a , b均为正整数,则gcd(a,b) = gcd(a, a%b)
证明原理:
a = kb + r;
r = a- kb;
设 d 是 a 和b 的公约数,所以 r = a- kb中也是d 的倍数,所以d 也是 r 的因数.
所以a 和 b 和 r 有公约数 d, 又因为 r = a % b ,所以 b 和 a % b有公约数 d。
又因为d是任意的得到 a 和b 的公约数 = b 和 a % b的公约数。
同理由 a = kb + r,可证 b 和 a%b 的公约数都是a 和 b的公约数。
因此a和b的公约数与 b 和 a%b的公约数全部相等。故最大公约数也相等。
即有 gcd(a, b) = gcd(b, a%b)
毕证
是不是太麻烦 ,其实有很多人都看不懂,(主要是我也看不懂,但是我记得步骤,知道辗转相除法怎么写啊)除数变被除数,余数变除数,就这样,直到余数为0.除数就是最大公约数
1)递归式:gcd(a,b) = gcd(b,a%b)
2)递归边界:gcd(a,0) = a;
int gcd(int a, int b){
if(b == 0) //你在纸上找两数试试
return a;
else
return gcd(b, a % b);
}
更简洁的写法
int gcd(int a, int b){
return !b ? a : gcd(b, a % b);
}
2,最小公倍数
看到最小公倍数还记得怎么算么???
最小公倍数我们一般用 lcm(a, b) 来表示
最小公倍数是我们在求最大公约数的基础上求的。
得到 a 和 b的最大公约数d之后,马上得到a 和 b 的最小公倍数, a * b / d。
但是a * b 可能会溢出,所以我们改进一下
a/d *b 或者 a * (b/d)
int lcm(int a, int b){
return a / gcd(a, b) * b;
}
3,分数的四则运算
1)分数的表示
一般的我写分数时 写的都是假分数,(why?)因为好写。我们可以开一个结构体来存放这个分数
struct Fraction{ //分数
int up, down; //分子, 分母
};
我们在用这种方法表示时应该注意使用的3个规则
- 使down(分母)为非负数,那么令分子up为负数即可。
- 如果该分数恰为0,那么规定其分子为0, 分母为1.
- 分子和分母没有除了1 以外的公约数(就是最简的分数,不能继续化简)
2)分数的化简
分数的化简还是根据他的三项规则决定的
- 如果分母为负数,那么令分子 up 和分母 down 都变为相反数。
- 如果分子up为0,令分母 down为1
- 约分,求出分子绝对值和分母绝对值的最大公约数d,然后令分子分母同时除以d(15和 -5)的最大公约数是5,负数和正数的最大公约数还是正数。
Fraction reduction(Fraction result){
if(result.down < 0){
result.up = -result.up;
result.down = - result.down;
}
if(result.up == 0){
result.down = 1;
}
else{
int d = gcd(abs(result.up), abs(result.down));
result.up /= d;
result.down /= d;
}
return result;
}
3)分数的运算
1.分数加法
Fraction add(Fraction f1, Fraction f2){
Fraction result;
result.down = f2.down * f1.down;
result.up = f1.up * f2.down + f2.up * f1.down;
return reduction(result);
}
2.分数减法
Fraction minu(Fraction f1, Fraction f2){
Fraction result;
result.down = f2.down * f1.down;
result.up = f1.up * f2.down - f2.up * f1.down;
return reduction(result);
}
3.分数乘法
Fraction multi(Fraction f1, Fraction f2){
Fraction result;
result.up = f1.up * f2.up;
result.down = f1.down * f2.down;
return reduction(result);
}
4.分数除法
Fraction divide(Fraction f1, Fraction f2){
Fraction result;
result.up = f1.up * f2.down;
result.down = f1.down * f2.up;
return reduction(result);
}
除法需要注意 f2.up是否为0,只有当f2.up不为0时,才能用上述公式。
4)分数的输出
- 输出前化简
- 分母为1则说明是整数
- 分子绝对值大于分母时(假分数),我们需要按带分数的形式输出,(整数 分数)整数部分为 r.up / r.down,分子部分为 abs(r.up % r.down)分母部分为 r.down.
- 真分数直接输出
void showResult(Fraction r){
result r = reduction(r);
if(r.down == 1)
printf("%lld", r.up);
else if(abs(r.up) > r.down){
printf("%d %d/%d", r.up / r.down, abs(r.up) % r.down, r.down);
}
else{
printf("%d/%d", r.up, r.down);
}
}
强调:
由于分数的乘法和除法过程中可能使分子或者分母超过int型范围,一次在一般情况下分子分母用 long long型,但是long long 型不能存负数。