积、商、幂的对数
logaMN=logaM+logaN
的推导过程如下。
证明:设logaM=p,logaN=q则ap=M,aq=N,代入logaMN,得logaMN=loga(ap⋅aq)=logaap+q=p+q=logaM+logaN所以:logaMN=logaM+logaN
logaMN=logaM+logaN
的推导过程如下。
证明:设logaM=p,logaN=q则ap=M,aq=N,代入logaMN,得logaMN=loga(apaq)=logaap−q=p−q=logaM−logaN所以:logaMN=logaM−logaN
logaMb=b⋅logaM
的推导过程
证明:设logaM=p则ap=M,代入logaMb得logaMb=loga(ap)b=logaapb=pb=b⋅logaM
alogaM=M
的推导过程
证明:设logaM=p则ap=M,代入alogaM得alogaM=alogaap=ap=M
换底公式
logbN=logaNlogab
的推导过程如下。
证明:设logbN=x,则bx=N两边同时取以a为底的对数logabx=logaNx⋅logab=logaNx=logaNlogab所以logbN=logaNlogab
其他公式
logana=1n
的推导过程
证明:设logana=p则(an)p=a即anp=a两边同时取常数对数,lganp=lganp⋅lga=lga,np=1,p=1n所以logana=1n
1logab=logba
的推导过程。
这里用换底公式,过程比较简单
1logab=1lgblga=lgalgb=logba
loganM=1n⋅logaM
的推导过程
证明:设logaM=p则ap=M,代入loganMloganap=p⋅logana=1n⋅p=1n⋅logaM