关于欧拉乘积公式的由来
我们知道,早在古希腊时期,欧几里得(Eucl id)就用精彩的反证法证明了素数有无穷多个。随着数论研究的深入,人们很自然地对素数在自然数集上的分布产生了越来越浓厚的兴趣。1737年,著名瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707—1783)在俄国圣彼得堡科学院(St.Petersburg Academy)发表了一个极为重要的公式,为数学家们研究素数分布的规律奠定了基础。这个公式就是欧拉乘积公式,即
n∑n−s=p∏(1−p−s)−1.这个公式左边的求和对所有的自然数进行,右边的连乘积则对所有的素数进行。这个公式对所有
Re(s) > 1的复数s都成立。读者们想必认出来了,这个公式的左边正是大名鼎鼎的黎曼ζ函数在
Re(s) > 1时的级数表达式,而它的右边则是一个纯粹有关素数(且包含所有素数)的表达式,这样的形式正是黎曼ζ函数与素数分布之间存在关联的征兆。作为素数理论的基础公式,这个公式在很多地方都有提到过,那么下面我们来证明一下。
证明思路
由
ζ(s)=1+2s1+3s1+4s1+5s1+6s1+7s1+...(1)首先根据数学分析的相关理论,利用埃拉托色尼筛法,对等式两边同时乘以
2s1 可以得到以下式子
2s1ζ(s)=2s1+4s1+6s1+8s1+10s1+12s1+14s1,(2)可以看到分母中底数全变成了偶数!这样由式
(1)−式
(2)可得下式:
(1−2s1)ζ(s)=1+3s1+5s1+7s1+...,(3)含偶数的项全都消去了!
令
ζ1(s)=(1−2s1)ζ(s),则有
ζ1(s)=1+3s1+5s1+7s1+...,(4)同理,对
ζ1(s)两边同时乘以
3s1 可以得到下式:
(1−3s1)ζ1(s)=1+5s1+7s1+...,(5)类似的运算进行了无穷多次之后,可以得到如等式:
...(1−13s1)(1−11s1)(1−7s1)(1−5s1)(1−3s1)(1−2s1)ζ(s)=1(6)把含素数的项移到右边可以改写成如下形式:
n∑n−s=p∏(1−p−s)−1,(7)证毕。值得注意的是,式
(7)成立的条件是
∑n−s收敛,即
s>1,否则将会出现一些矛盾的结论。
-
−∞=+∞
若
s=−1,可以发现
ζ(−1)=n∑n=1+2+3+4+5+6+7+8+9+...,(8)即全体自然数的和,式
(8)两边乘以
2可得
2ζ(−1)=2+4+6+8+10+12+14+16+18+...,(9)式
(8)−式
(9)得
−ζ=1+3+5+7+9...,(10),仔细分析,式
(10)左边是全体自然数之和取负数,右边是全体奇数之和,两者竟然相等!
这里,笔者有个小疑问闪过心头,既然
Re(s)>1 以上等式才得以成立,那么令无数数学家魂牵梦萦的黎曼猜想:
ξ(s) 的所有零点都位于
Re(s)=1/2的直线上。
意义何在?欢迎感兴趣的朋友一起学习探讨。
总体感觉MarkDown编辑器可以嵌入漂亮的LaTeX公式,于是尝试着写了第一篇文章,效果非常棒,虽然语法还有很多地方需要熟悉,以后就用这个编辑器了,边写作边学习,不断提升写作水平~
[1]: http://meta.math.stackexchange.com/questions/5020/mathjax-basic-tutorial-and-quick-reference
[2]: https://mermaidjs.github.io/
[3]: https://mermaidjs.github.io/
[4]: http://adrai.github.io/flowchart.js/